構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 20 kNP2​ = 55 kNABRA​ = ?RB​1 m8 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 10 mP1 = 20 kN 位置 1 mP2 = 55 kN 位置 9 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 40 kN, 40°Q = 65 kNABRA​ = ?4 m4 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 4 m の位置に水平と 40° をなす荷重 P が、A から 8 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力 RA の大きさを求めよ。

L = 10 mP = 40 kN 位置 4 m, θ = 40°Q = 65 kN 位置 8 m
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 65 kNP2​ = 45 kNABC1.5 m4.5 m1.5 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 7.5 mP1 = 65 kN 位置 1.5 mP2 = 45 kN 位置 7.5 m支点の位置 x = 0 と x = 6 m
MB = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
5 kN/m55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 12 m5 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB15 kN4 m3 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 15 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB45 kN5 kN8 m7 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 7 m鉛直荷重 = 45 kN水平荷重 = 5 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
P = 22 kNABδ2 m1 m

単純ばりの支点 A から a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 22 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 12 kN/mδL = 6 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 6 md = 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 70 kNL = 3 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 70 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 70 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 23.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 20 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​1 m8 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·10 = 20·1 + 55·9
RB = 515/10 = 51.5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 51.5 = 23.5 kN

答え

RA = 23.5 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 41.8 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

Pv = 40·sin 40° = 25.71 kN
Ph = 40·cos 40° = 30.64 kN

反力

ΣMA = 0: RB·10 = 25.71·4 + 65·8 → RB = 62.28 kN
Ay = 25.71 + 65 − 62.28 = 28.43 kN
Ax = Ph = 30.64 kN

A での合力

RA = √(30.64² + 28.43²) = 41.8 kN

答え

RA = 41.8 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: MB = −67.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。

ΣMA = 0: RB·6 = 65·1.5 + 45·7.5
RB = 435/6 = 72.5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 72.5 = 37.5 kN

B で切断し、張出し部を残す

張出し部には P2 だけが腕の長さ a で作用します。これにより、はりは支点上で上に凸に曲がります（負の曲げ）。

MB = −P2·a = −45·1.5 = −67.5 kN·m

答え

MB = −67.5 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: F (x = 10 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 14 kN, R2 = 91 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 18, MC = 16, MD = −6, ME = −48, MF = −110 kN·m, MG = 0

答え

点 F: MF = −110 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −11.6 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 → Cy = 11.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 11.25 = 3.75 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11.25/0.9701 = −11.6 kN

答え

FBC = −11.6 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −9.52 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·7 + 5·3 → Cy = 41.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 41.25 = 3.75 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/7.616 = 0.3939
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3.75/0.3939 = −9.52 kN

答え

FAB = −9.52 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δP = 1.164 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 22000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 22000·2000²·1000²/(3·8.4 × 10¹²·3000) = 1.164 mm

答え

δP = 1.164 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·6000⁴/(384·200000·16.67) = 6.075 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 225 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/4200² = 224989 N = 225 kN

答え

Pcr = 225 kN
10.柱の座屈

答え: d = 60.05 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·70000 = 140000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 60.05 mm

答え

d = 60.05 mm

確認：細長比 KL/r は 199.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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