はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。
L = 6 mP1 = 25 kN 位置 1 mP2 = 55 kN 位置 4.5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 6 m の位置に水平と 30° をなす荷重 P が、A から 1 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力 RA の大きさを求めよ。
L = 10 mP = 40 kN 位置 6 m, θ = 30°Q = 30 kN 位置 1 m
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 6 mP1 = 10 kN 位置 3 mP2 = 15 kN 位置 3.5 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 5 mw = 4 kN/m（1 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 45 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 55 kN水平荷重 = 30 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 25 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 45.42 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·6 = 25·1 + 55·4.5
RB = 272.5/6 = 45.42 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 45.42 = 34.58 kN
答え
RB = 45.42 kN
2.はりの支点反力
答え: RA = 49.24 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
P の成分
Pv = 40·sin 30° = 20 kN
Ph = 40·cos 30° = 34.64 kN
反力
ΣMA = 0: RB·10 = 20·6 + 30·1 → RB = 15 kN
Ay = 20 + 30 − 15 = 35 kN
Ax = Ph = 34.64 kN
A での合力
RA = √(34.64² + 35²) = 49.24 kN
答え
RA = 49.24 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 34.38 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·6 = 10·3 + 15·3.5
RB = 82.5/6 = 13.75 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 13.75 = 11.25 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·3 = 11.25·3 = 33.75 kN·m
荷重点 P2: M = RB·2.5 = 13.75·2.5 = 34.38 kN·m
最大値
Mmax = 34.38 kN·m (荷重点 P2)
答え
Mmax = 34.38 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 10.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·3·2.5
RB = 30/5 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
せん断力 0 の位置
せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。
RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 6/4 = 2.5 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 6·2.5 − 4·1.5²/2 = 10.5 kN·m
答え
Mmax = 10.5 kN·m
5.トラス：節点法
答え: FBC = −34.79 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 → Cy = 33.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33.75 = 11.25 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33.75/0.9701 = −34.79 kN
答え
FBC = −34.79 kN (圧縮)
6.トラス：節点法
答え: FAC = −1.667 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·6 = 55·2 − 30·4 → Cy = −1.667 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − −1.667 = 56.67 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−1.667/0.7071 = 2.357 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(2.357)·0.7071 = −1.667 kN
答え
FAC = −1.667 kN (圧縮)
7.はりのたわみ
答え: δ = 14.74 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 25000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 25000·2000³/(3·5.88 × 10¹²) = 11.34 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·5.88 × 10¹²) = 3.401 mm
足し合わせる
δ = 11.34 + 3.401 = 14.74 mm
答え
δ = 14.74 mm
8.はりのたわみ
答え: Ireq = 2.712 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·1500⁴/(384·70000·4.167) = 2.712 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2.712 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 2.712 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈
答え: Pcr = 2.412 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·6000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2.412 kN
答え
Pcr = 2.412 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 11.99 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/12.5 = 240
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa
答え
σcr = 11.99 MPa
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