構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P = 55 kNM = 25 kN·mABRB​ = ?3 m1 m6 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 4 m の位置に集中荷重 P が、A から 3 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

L = 10 mP = 55 kN 位置 4 mM = 25 kN·m (反時計回り) 位置 3 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 35 kN, 45°Q = 25 kNABα = ?0.5 m4.5 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 5 m の位置に水平と 45° をなす荷重 P が、A から 0.5 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力と水平とのなす角 α を求めよ。

L = 6 mP = 35 kN 位置 5 m, θ = 45°Q = 25 kN 位置 0.5 m
α = °
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 5 kN/mAB断面4.5 m1.5 m

支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 5 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
35 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

35 kN @ 12 m50 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB35 kN6 m5 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 35 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB50 kN20 kN4 m1 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 50 kN水平荷重 = 20 kN ←
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 12 kN/mδL = 5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 10 kN/mP = 29 kNδL = 4 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 29 kNw = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 md = 25 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 1.5 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 19.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·10 − 55·4 + 25 = 0
RB = 195/10 = 19.5 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 55 − 19.5 = 35.5 kN

答え

RB = 19.5 kN

負の反力は下向きに作用します。

2.はりの支点反力

答え: α = 47.53 °

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

Pv = 35·sin 45° = 24.75 kN
Ph = 35·cos 45° = 24.75 kN

反力

ΣMA = 0: RB·6 = 24.75·5 + 25·0.5 → RB = 22.71 kN
Ay = 24.75 + 25 − 22.71 = 27.04 kN
Ax = Ph = 24.75 kN

A での向き

α = atan(Ay/Ax) = atan(27.04/24.75) = 47.53°

答え

α = 47.53°
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 16.88 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15断面4.5 m1.5 m

x = 4.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 15·4.5 − 5·4.5·2.25 = 16.88 kN·m

答え

Mx = 16.88 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 20 kN, R2 = 65 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 40, MC = −20, MD = −80, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0

答え

点 E: ME = −140 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −32.61 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·5 → Cy = 29.17 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 29.17 = 5.833 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −29.17/0.8944 = −32.61 kN

答え

FBC = −32.61 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FBC = 9.375 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB50 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 50·1 − 20·4 → Cy = −7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − −7.5 = 57.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−7.5/0.8 = 9.375 kN

答え

FBC = 9.375 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δmax = 13.56 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 5000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 13.56 mm

答え

δmax = 13.56 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 6.429 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 29000 N, w = 10 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 29000·4000³/(48·1.12 × 10¹³) = 3.452 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 2.976 mm

足し合わせる

δmax = 3.452 + 2.976 = 6.429 mm

答え

δmax = 6.429 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 5.888 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1500 = 1500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5.888 kN

答え

Pcr = 5.888 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 49.35 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/7.5 = 200

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答え

σcr = 49.35 MPa

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