はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。
L = 10 mP1 = 45 kN 位置 2 mP2 = 60 kN 位置 4 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。
L = 6 mP = 15 kN 位置 3 mw = 8 kN/m（0 から 3 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 6 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 10 kN/m（0 から 8 m まで）x = 6 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 50 kN 位置 1.5 mw = 10 kN/m（0 から 4 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
B: 40 kN ↓D: 10 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 BG
- 13部材 DG
6.トラス：節点法むずかしい
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
B: 25 kN ↓C: 20 kN ↓D: 30 kN ↓F: 10 kN →H: 10 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 FC
- 13部材 HC
7.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 5 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。
P = 15 kNb = 3.5 mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 10 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 10 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RA = 72 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·10 = 45·2 + 60·4
RB = 330/10 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 33 = 72 kN
答え
RA = 72 kN
2.はりの支点反力
答え: RA = 25.5 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN、作用点 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·3 + 8·3·1.5
RB = 81/6 = 13.5 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 13.5 = 25.5 kN
答え
RA = 25.5 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 60 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
x = 6 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 40·6 − 10·6·3 = 60 kN·m
答え
Mx = 60 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 65.63 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1.5 + 10·4·2
RB = 155/4 = 38.75 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 38.75 = 51.25 kN
x = 1.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 51.25·1.5 − 10·1.5·0.75 = 65.63 kN·m
答え
Mx = 65.63 kN·m
5.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 C
BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 24.38 kN (T), BC: 18.75 kN (T), CD: 18.75 kN (T), DE: 13.12 kN (T), FG: 24.38 kN (C), GH: 13.12 kN (C), AF: 40.63 kN (C), HE: 21.87 kN (C), BF: 32.5 kN (T), CG: 0, DH: 17.5 kN (T), BG: 9.375 kN (T), DG: 9.375 kN (C)
答え
ゼロ部材: CG
6.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 G
FG と GH は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 59.17 kN (T), BC: 59.17 kN (T), CD: 64.17 kN (T), DE: 64.17 kN (T), FG: 75 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 61.46 kN (C), HE: 80.21 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 19.79 kN (T), HC: 13.54 kN (T)
答え
ゼロ部材: CG
7.はりのたわみ
答え: δB = 4.509 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 5000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 1.804 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.002706 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 4.509 mm
答え
δB = 4.509 mm
8.はりのたわみ
答え: δmid = 62.07 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 15000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
中央たわみ
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 15000·3500·(3·8000² − 4·3500²)/(48·2.52 × 10¹²) = 62.07 mm
答え
δmid = 62.07 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 177.2 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2800² = 177179 N = 177.2 kN
答え
Pcr = 177.2 kN
10.柱の座屈
答え: d = 49.03 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·10000 = 25000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 49.03 mm
答え
d = 49.03 mm
確認：細長比 KL/r は 228.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis