構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 40 kNP2​ = 30 kNABRA​ = ?RB​2 m2 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP1 = 40 kN 位置 2 mP2 = 30 kN 位置 4 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 70 kNADCMA​ = ?3 m2 m1 m

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 3 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 6 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 5 m の位置の集中荷重 P である。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

AC = 3 mAD = 6 mP = 70 kN 位置 5 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 2 kN/mAB断面1 m5 m

支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 2 kN/m（0 から 6 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 6 kN/mP = 45 kNAB断面4.5 m1.5 m

支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 45 kN 位置 4.5 mw = 6 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB30 kN8 m6 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 30 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB20 kN15 kN8 m1 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 20 kN水平荷重 = 15 kN →
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 30 kNABδ2.5 m2.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 30 kNa = 2.5 mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 3 kN/mABδ5 m

幅 150 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 150 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 4 md = 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 36.67 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 40 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​2 m2 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 40·2 + 30·4
RB = 200/6 = 33.33 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 33.33 = 36.67 kN

答え

RA = 36.67 kN
2.はりの支点反力

答え: MA = 70 kN·m

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。 中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

ΣMC = 0: RD·3 = 70·2
RD = 46.67 kN
VC = 70 − 46.67 = 23.33 kN

部分 AC

ヒンジ力 VC は AC に下向きに作用します（CD への作用と大きさが等しく向きが逆）。

RA = 23.33 = 23.33 kN
MA = 23.33·3 = 70 kN·m

答え

MA = 70 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 2·6·3
RB = 36/6 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 6RB​ = 6断面1 m5 m

x = 1 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 6·1 − 2·1·0.5 = 5 kN·m

答え

Mx = 5 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 70.88 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·4.5 + 6·6·3
RB = 310.5/6 = 51.75 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 51.75 = 29.25 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 29.25RB​ = 51.75断面4.5 m1.5 m

x = 4.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 29.25·4.5 − 6·4.5·2.25 = 70.88 kN·m

答え

Mx = 70.88 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −31.82 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·6 → Cy = 22.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22.5 = 7.5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22.5/0.7071 = −31.82 kN

答え

FBC = −31.82 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 18.96 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB20 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·1 + 15·3 → Cy = 8.125 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 8.125 = 11.88 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/7.616 = 0.3939, cos γ = 7/7.616 = 0.9191
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8.125/0.3939 = −20.63 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−20.63)·0.9191 = 18.96 kN

答え

FAC = 18.96 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δP = 33.97 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 30000 N, a = 2500 mm, L = 5000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa³/(3EI) = 30000·2500³/(3·4.6 × 10¹²) = 33.97 mm

答え

δP = 33.97 mm
8.はりのたわみ

答え: hreq = 220 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·16.67) = 1.332 × 10⁸ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·1.332 × 10⁸/150)1/3 = 220 mm

答え

hreq = 220 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: Pcr = 6.89 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·3000 = 6000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/6000² = 6890 N = 6.89 kN

答え

Pcr = 6.89 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 49.35 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答え

σcr = 49.35 MPa

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