構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 50 kNP2​ = 40 kNABRA​ = ?RB​3 m4 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 8 mP1 = 50 kN 位置 3 mP2 = 40 kN 位置 7 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 3 kN/mP = 25 kNQ = 45 kNADCMA​ = ?2.5 m0.5 m2 m1 m

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 3 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 6 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 5 m の位置の集中荷重 P, 部分 CD 全体の等分布荷重 w および A から 2.5 m の位置の集中荷重 Q である。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

AC = 3 mAD = 6 mP = 25 kN 位置 5 mw = 3 kN/m（3 から 6 m まで）Q = 45 kN 位置 2.5 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 10 kNP2​ = 50 kNAB3.5 m1.5 m1 m

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 6 mP1 = 10 kN 位置 3.5 mP2 = 50 kN 位置 5 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
10 kN/m60 kN55 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

60 kN @ 0 m55 kN @ 6 m20 kN @ 3 m10 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB40 kN4 m1 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 40 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB15 kN20 kN4 m1 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 15 kN水平荷重 = 20 kN ←
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mδL = 6 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 4 kN/mP = 15 kNδL = 4 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 15 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 m20 × 100 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 3 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 36.25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 50 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​3 m4 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·8 = 50·3 + 40·7
RB = 430/8 = 53.75 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 53.75 = 36.25 kN

答え

RA = 36.25 kN
2.はりの支点反力

答え: MA = 151 kN·m

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。 中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

W = 3·3 = 9 kN 位置 1.5 m 起点 C
ΣMC = 0: RD·3 = 25·2 + 9·1.5
RD = 21.17 kN
VC = 34 − 21.17 = 12.83 kN

部分 AC

ヒンジ力 VC は AC に下向きに作用します（CD への作用と大きさが等しく向きが逆）。

RA = 45 + 12.83 = 57.83 kN
MA = 45·2.5 + 12.83·3 = 151 kN·m

答え

MA = 151 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 47.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 10·3.5 + 50·5
RB = 285/6 = 47.5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 47.5 = 12.5 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P1: M = RA·3.5 = 12.5·3.5 = 43.75 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1 = 47.5·1 = 47.5 kN·m

最大値

Mmax = 47.5 kN·m (荷重点 P2)

答え

Mmax = 47.5 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 65 kN, R2 = 100 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −60, MC = −60, MD = −70, ME = −110 kN·m, MF = −55, MG = 0

答え

点 E: ME = −110 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −30.92 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 10 = 30 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30/0.9701 = −30.92 kN

答え

FAB = −30.92 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −32.21 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·1 − 20·4 → Cy = −16.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −16.25 = 31.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −31.25/0.9701 = −32.21 kN

答え

FAB = −32.21 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δmax = 15.07 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 15.07 mm

答え

δmax = 15.07 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 1.042 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 15000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 15000·4000³/(48·3.2 × 10¹³) = 0.625 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 0.4167 mm

足し合わせる

δmax = 0.625 + 0.4167 = 1.042 mm

答え

δmax = 1.042 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 5.118 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1500 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/3000² = 5118 N = 5.118 kN

答え

Pcr = 5.118 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 21.93 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa

答え

σcr = 21.93 MPa

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