はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。
L = 4 mP1 = 15 kN 位置 1 mP2 = 15 kN 位置 1.5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 3.5 m の位置に水平と 30° をなす荷重 P が、A から 1.5 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力 RA の大きさを求めよ。
L = 4 mP = 65 kN 位置 3.5 m, θ = 30°Q = 80 kN 位置 1.5 m
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 9 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mw = 8 kN/m（0 から 10 m まで）x = 9 m
Vx = kN
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
45 kN @ 0 m30 kN @ 12 m30 kN @ 4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
5.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 35 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 45 kN水平荷重 = 15 kN →
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。
P = 21 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 5 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 5 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RA = 20.63 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1 + 15·1.5
RB = 37.5/4 = 9.375 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 9.375 = 20.63 kN
答え
RA = 20.63 kN
2.はりの支点反力
答え: RA = 78.05 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
P の成分
Pv = 65·sin 30° = 32.5 kN
Ph = 65·cos 30° = 56.29 kN
反力
ΣMA = 0: RB·4 = 32.5·3.5 + 80·1.5 → RB = 58.44 kN
Ay = 32.5 + 80 − 58.44 = 54.06 kN
Ax = Ph = 56.29 kN
A での合力
RA = √(56.29² + 54.06²) = 78.05 kN
答え
RA = 78.05 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = −32 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
x = 9 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 40 − 8·9 = −32 kN
答え
Vx = −32 kN
4.せん断力と曲げモーメント
答え: B (x = 2 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 71.25 kN, R2 = 33.75 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −90 kN·m, MC = −37.5, MD = −45, ME = −52.5, MF = −60, MG = 0
答え
点 B: MB = −90 kN·m
5.トラス：節点法
答え: FAB = −35.34 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·5 → Cy = 21.88 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 21.88 = 13.13 kN
節点 A
すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。
sin α = 2/5.385 = 0.3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13.13/0.3714 = −35.34 kN
答え
FAB = −35.34 kN (圧縮)
6.トラス：節点法
答え: FBC = −33.8 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·8 = 45·2 + 15·4 → Cy = 18.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 18.75 = 26.25 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 4/7.211 = 0.5547, cos γ = 6/7.211 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18.75/0.5547 = −33.8 kN
答え
FBC = −33.8 kN (圧縮)
7.はりのたわみ
答え: δmax = 1.13 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 1.13 mm
答え
δmax = 1.13 mm
8.はりのたわみ
答え: δmid = 6.414 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 21000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
中央たわみ
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 21000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·3.99 × 10¹²) = 6.414 mm
答え
δmid = 6.414 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 9.179 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2800² = 9179 N = 9.179 kN
答え
Pcr = 9.179 kN
10.柱の座屈
答え: d = 36.84 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·5000 = 10000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 36.84 mm
答え
d = 36.84 mm
確認：細長比 KL/r は 271.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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