はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 2.5 m の位置に集中荷重 P が、A から 2 m の位置に時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。
L = 4 mP = 35 kN 位置 2.5 mM = 25 kN·m (時計回り) 位置 2 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。
L = 4 mP = 55 kN 位置 2.5 mw = 12 kN/m（0 から 3 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 4 mP1 = 45 kN 位置 2 mP2 = 20 kN 位置 3 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mP = 20 kN 位置 1 mw = 12 kN/m（0 から 10 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 25 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
D: 40 kN ↓F: 10 kN ↓H: 15 kN ←
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 BG
- 13部材 DG
7.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 10 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 10 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 28.13 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
A まわりのモーメント
反時計回りを正とします。
ΣMA = 0: RB·4 − 35·2.5 − 25 = 0
RB = 112.5/4 = 28.13 kN
鉛直方向のつり合い
RA = 35 − 28.13 = 6.875 kN
答え
RB = 28.13 kN
負の反力は下向きに作用します。
2.はりの支点反力
答え: RB = 47.88 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN、作用点 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2.5 + 12·3·1.5
RB = 191.5/4 = 47.88 kN
ΣFy = 0: RA = 91 − 47.88 = 43.13 kN
答え
RB = 47.88 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 55 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2 + 20·3
RB = 150/4 = 37.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 37.5 = 27.5 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·2 = 27.5·2 = 55 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1 = 37.5·1 = 37.5 kN·m
最大値
Mmax = 55 kN·m (荷重点 P1)
答え
Mmax = 55 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 72 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·1 + 12·10·5
RB = 620/10 = 62 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 62 = 78 kN
x = 1 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 78·1 − 12·1·0.5 = 72 kN·m
答え
Mx = 72 kN·m
5.トラス：節点法
答え: FAB = −22.55 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·8 = 25·1 → Cy = 3.125 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 3.125 = 21.88 kN
節点 A
すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。
sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −21.88/0.9701 = −22.55 kN
答え
FAB = −22.55 kN (圧縮)
6.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 C
BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 1.875 kN (T), BC: 11.25 kN (T), CD: 11.25 kN (T), DE: 20.62 kN (T), FG: 16.88 kN (C), GH: 35.62 kN (C), AF: 28.13 kN (C), HE: 34.37 kN (C), BF: 12.5 kN (T), CG: 0, DH: 27.5 kN (T), BG: 15.63 kN (C), DG: 15.63 kN (T)
答え
ゼロ部材: CG
7.はりのたわみ
答え: δ = 42.11 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 42.11 mm
答え
δ = 42.11 mm
8.はりのたわみ
答え: Ireq = 9.04 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·3000⁴/(384·70000·8.333) = 9.04 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 9.04 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 9.04 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈
答え: Pcr = 94.2 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94.2 kN
答え
Pcr = 94.2 kN
10.柱の座屈
答え: d = 43.68 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·10000 = 20000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 43.68 mm
答え
d = 43.68 mm
確認：細長比 KL/r は 384.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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