構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P = 10 kNM = 60 kN·mABRA​ = ?0.5 m2 m1.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 0.5 m の位置に集中荷重 P が、A から 2.5 m の位置に時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。

L = 4 mP = 10 kN 位置 0.5 mM = 60 kN·m (時計回り) 位置 2.5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 4 kN/mP = 10 kNABCRA​ = ?4 m3 m3 m

はりは A でピン支点、A から 7 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 4 m の位置に集中荷重 P が作用し、7 m から 10 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。

AB = 7 mAC = 10 mP = 10 kN 位置 4 mw = 4 kN/m（7 から 10 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
10 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

60 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mP = 20 kNAB断面2 m0.5 m2.5 m

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 20 kN 位置 2.5 mw = 10 kN/m（0 から 5 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB30 kN8 m2 m2 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 30 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB60 kN15 kN4 m1 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 60 kN水平荷重 = 15 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mABθ5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。

w = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.はりのたわみむずかしい
P = 27 kNABδ7 m1 m

単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。

P = 27 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 1 m25 × 40 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 5 md = 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = −6.25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·4 − 10·0.5 − 60 = 0
RB = 65/4 = 16.25 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 10 − 16.25 = −6.25 kN

答え

RA = −6.25 kN

負の反力は下向きに作用します。

2.はりの支点反力

答え: RA = 1.714 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 4·3 = 12 kN, x̄ = (7 + 10)/2 = 8.5 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·7 = 10·4 + 12·8.5
RB = 142/7 = 20.29 kN
RA = 22 − 20.29 = 1.714 kN

答え

RA = 1.714 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 50 kN, R2 = 70 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 45, MC = 80, MD = 105, ME = 120 kN·m, MF = 65, MG = 0

答え

点 E: ME = 120 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 50 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·2.5 + 10·5·2.5
RB = 175/5 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 35 = 35 kN
w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​ = 35RB​ = 35断面2 m0.5 m2.5 m

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 35·2 − 10·2·1 = 50 kN·m

答え

Mx = 50 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −31.82 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·2 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 7.5 = 22.5 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22.5/0.7071 = −31.82 kN

答え

FAB = −31.82 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −30.92 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB60 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·1 + 15·4 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 30 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30/0.9701 = −30.92 kN

答え

FAB = −30.92 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: θA = 0.03382 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

端部のたわみ角

θA = wL³/(24EI) = 6·5000³/(24·9.24 × 10¹¹) = 0.03382 rad

答え

θA = 0.03382 rad

これは 1.938° です。

8.はりのたわみ

答え: δmid = 9.442 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 27000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

中央たわみ

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 27000·1000·(3·8000² − 4·1000²)/(48·1.12 × 10¹³) = 9.442 mm

答え

δmid = 9.442 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 73.43 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·1000 = 700 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/700² = 73435 N = 73.43 kN

答え

Pcr = 73.43 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 8.812 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/12.5 = 280

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa

答え

σcr = 8.812 MPa

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