はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 20 kN/m から B で 0 まで直線的に減少する分布荷重が作用する。 さらに A から 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 鉛直支点反力 RB を求めよ。
L = 6 mw0 = 20 kN/mP = 35 kN 位置 3.5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 4 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 8 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 5 m の位置の集中荷重 P, 部分 CD 全体の等分布荷重 w である。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。
AC = 4 mAD = 8 mP = 10 kN 位置 5 mw = 2 kN/m（4 から 8 m まで）
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 10 mP1 = 70 kN 位置 5 mP2 = 50 kN 位置 6 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8 mw = 3 kN/m（0 から 8 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
D: 15 kN ↓F: 25 kN ↓G: 25 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 FC
- 13部材 HC
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 60 kN水平荷重 = 25 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 20 kNw = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 40.42 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
三角形分布荷重の合力
W = ½·20·6 = 60 kN
x̄ = L/3 = 2 m
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 35·3.5
RB = 40.42 kN
RA = 95 − 40.42 = 54.58 kN
答え
RB = 40.42 kN
2.はりの支点反力
答え: MA = 46 kN·m
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。 中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。
部分 CD
ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。
W = 2·4 = 8 kN 位置 2 m 起点 C
ΣMC = 0: RD·4 = 10·1 + 8·2
RD = 6.5 kN
VC = 18 − 6.5 = 11.5 kN
部分 AC
ヒンジ力 VC は AC に下向きに作用します（CD への作用と大きさが等しく向きが逆）。
RA = 11.5 = 11.5 kN
MA = 11.5·4 = 46 kN·m
答え
MA = 46 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 275 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·10 = 70·5 + 50·6
RB = 650/10 = 65 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 65 = 55 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·5 = 55·5 = 275 kN·m
荷重点 P2: M = RB·4 = 65·4 = 260 kN·m
最大値
Mmax = 275 kN·m (荷重点 P1)
答え
Mmax = 275 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 10.67 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·8·4
RB = 96/6 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 16 = 8 kN
せん断力 0 の位置
RA − w·x0 = 0 → x0 = 8/3 = 2.667 m
最大の正の曲げモーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 8²/(2·3) = 10.67 kN·m
答え
Mmax = 10.67 kN·m
5.トラス：節点法
答え: 部材 BF
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 B
AB と BC は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、BF だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 35 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 49.5 kN (C), HE: 42.43 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 14.14 kN (T), HC: 21.21 kN (T)
答え
ゼロ部材: BF
6.トラス：節点法
答え: FAB = −44.78 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·2 + 25·2 → Cy = 28.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 28.33 = 31.67 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
節点 A
すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。
sin α = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −31.67/0.7071 = −44.78 kN
答え
FAB = −44.78 kN (圧縮)
7.はりのたわみ
答え: δmax = 16.84 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 16.84 mm
答え
δmax = 16.84 mm
8.はりのたわみ
答え: δmax = 76.19 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 20000 N, w = 20 N/mm, L = 8000 mm, EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 20000·8000³/(48·1.68 × 10¹³) = 12.7 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·8000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 63.49 mm
足し合わせる
δmax = 12.7 + 63.49 = 76.19 mm
答え
δmax = 76.19 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 2.481 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2500 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2.481 kN
答え
Pcr = 2.481 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 14.16 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/7.5 = 373.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/373.3² = 14.16 MPa
答え
σcr = 14.16 MPa
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