構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 20 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m3.5 m1.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 6 mP1 = 20 kN 位置 1 mP2 = 30 kN 位置 4.5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 4 kN/mP = 10 kNABCRB​ = ?1 m0.5 m1 m1.5 m

はりは A でピン支点、A から 2.5 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 1 m の位置に集中荷重 P が作用し、1.5 m から 4 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

AB = 2.5 mAC = 4 mP = 10 kN 位置 1 mw = 4 kN/m（1.5 から 4 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 12 kN/mAB断面1 m3 m

支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mw = 12 kN/m（0 から 4 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 2 kN/mABC8 m2 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 10 mw = 2 kN/m（0 から 10 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB25 kN6 m5 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 25 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB30 kN10 kN4 m3 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 10 kN →
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 2 kN/mP = 10 kNABδ4 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 10 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
P = 50 kNAB2.5 m2.5 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。

L = 5 mP = 50 kN 位置 2.5 m
MA = kN·m
9.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 md = 25 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 2 md = 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 25.83 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 20 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​1 m3.5 m1.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 20·1 + 30·4.5
RB = 155/6 = 25.83 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25.83 = 24.17 kN

答え

RB = 25.83 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 15 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 4·2.5 = 10 kN, x̄ = (1.5 + 4)/2 = 2.75 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·2.5 = 10·1 + 10·2.75
RB = 37.5/2.5 = 15 kN
RA = 20 − 15 = 5 kN

答え

RB = 15 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 18 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·4·2
RB = 96/4 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24断面1 m3 m

x = 1 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 24·1 − 12·1·0.5 = 18 kN·m

答え

Mx = 18 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 14.06 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·10·5
RB = 100/8 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 12.5 = 7.5 kN

せん断力 0 の位置

RA − w·x0 = 0 → x0 = 7.5/2 = 3.75 m

最大の正の曲げモーメント

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 7.5²/(2·2) = 14.06 kN·m

答え

Mmax = 14.06 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAC = 10.42 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·5 → Cy = 20.83 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 20.83 = 4.167 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20.83/0.8944 = −23.29 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−23.29)·0.4472 = 10.42 kN

答え

FAC = 10.42 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FBC = −33.5 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 + 10·4 → Cy = 32.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 32.5 = −2.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −32.5/0.9701 = −33.5 kN

答え

FBC = −33.5 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δ = 11.56 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 10000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(3EI) = 10000·4000³/(3·2.4 × 10¹³) = 8.889 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 2.667 mm

足し合わせる

δ = 8.889 + 2.667 = 11.56 mm

答え

δ = 11.56 mm
8.はりのたわみ

答え: MA = 46.88 kN·m

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·50/16 = 15.63 kN

固定端のモーメント

荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。

MA = P·L/2 − RB·L = 125 − 78.13 = 46.88 kN·m

答え

MA = 46.88 kN·m
9.柱の座屈

答え: Pcr = 12.02 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1050² = 12016 N = 12.02 kN

答え

Pcr = 12.02 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 9.715 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/15 = 266.7

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa

答え

σcr = 9.715 MPa

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