構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P = 50 kNM = 60 kN·mABRB​ = ?2 m1 m7 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 2 m の位置に集中荷重 P が、A から 3 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

L = 10 mP = 50 kN 位置 2 mM = 60 kN·m (反時計回り) 位置 3 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 20 kNQ = 30 kNADCMA​ = ?2 m1 m1 m6 m

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 3 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 10 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 4 m の位置の集中荷重 P および A から 2 m の位置の集中荷重 Q である。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

AC = 3 mAD = 10 mP = 20 kN 位置 4 mQ = 30 kN 位置 2 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 80 kNP2​ = 75 kNAB3 m2 m3 m

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 8 mP1 = 80 kN 位置 3 mP2 = 75 kN 位置 5 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 4 kN/mP = 20 kNAB断面5 m3 m

支点 A から x = 5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mP = 20 kN 位置 5 mw = 4 kN/m（0 から 8 m まで）x = 5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB50 kN8 m5 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 50 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB45 kN20 kN5 m2 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 45 kN水平荷重 = 20 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
w = 4 kN/mδL = 2.5 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 4 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
P = 30 kNABδ7 m1 m

単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。

P = 30 kNb = 1 mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 m20 × 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 25 kNL = 3 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 25 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 25 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 4 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·10 − 50·2 + 60 = 0
RB = 40/10 = 4 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 50 − 4 = 46 kN

答え

RB = 4 kN

負の反力は下向きに作用します。

2.はりの支点反力

答え: MA = 111.4 kN·m

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。 中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

ΣMC = 0: RD·7 = 20·1
RD = 2.857 kN
VC = 20 − 2.857 = 17.14 kN

部分 AC

ヒンジ力 VC は AC に下向きに作用します（CD への作用と大きさが等しく向きが逆）。

RA = 30 + 17.14 = 47.14 kN
MA = 30·2 + 17.14·3 = 111.4 kN·m

答え

MA = 111.4 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 234.4 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣMA = 0: RB·8 = 80·3 + 75·5
RB = 615/8 = 76.88 kN
ΣFy = 0: RA = 155 − 76.88 = 78.13 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P1: M = RA·3 = 78.13·3 = 234.4 kN·m
荷重点 P2: M = RB·3 = 76.88·3 = 230.6 kN·m

最大値

Mmax = 234.4 kN·m (荷重点 P1)

答え

Mmax = 234.4 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 67.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·5 + 4·8·4
RB = 228/8 = 28.5 kN
ΣFy = 0: RA = 52 − 28.5 = 23.5 kN
w = 4 kN/mP = 20 kNABRA​ = 23.5RB​ = 28.5断面5 m3 m

x = 5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 23.5·5 − 4·5·2.5 = 67.5 kN·m

答え

Mx = 67.5 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAC = 46.88 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·5 → Cy = 31.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 31.25 = 18.75 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −31.25/0.5547 = −56.34 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−56.34)·0.8321 = 46.88 kN

答え

FAC = 46.88 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −12.3 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·2 + 20·4 → Cy = 34 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 34 = 11 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −11/0.8944 = −12.3 kN

答え

FAB = −12.3 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δ = 12.13 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 12.13 mm

答え

δ = 12.13 mm
8.はりのたわみ

答え: δmid = 6.994 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 30000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

中央たわみ

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 30000·1000·(3·8000² − 4·1000²)/(48·1.68 × 10¹³) = 6.994 mm

答え

δmid = 6.994 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 40.94 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·1500 = 750 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/750² = 40941 N = 40.94 kN

答え

Pcr = 40.94 kN
10.柱の座屈

答え: d = 38.84 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 38.84 mm

答え

d = 38.84 mm

確認：細長比 KL/r は 216.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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