はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
片持ちばりは A で壁に固定されている。壁から 4 m まで等分布荷重 w が作用し、壁から 6 m の位置に集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。
L = 8 mP = 45 kN 位置 6 mw = 12 kN/m（0 から 4 m まで）
MA = kN·m
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 4 m の位置に水平と 40° をなす荷重 P が、A から 6 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力と水平とのなす角 α を求めよ。
L = 8 mP = 55 kN 位置 4 m, θ = 40°Q = 35 kN 位置 6 m
α = °
3.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 4 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mw = 4 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4 m
Vx = kN
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 xc を求めよ。
L = 5.5 mw = 10 kN/m（0 から 5.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 4 m
xc = m
5.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 50 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 60 kN水平荷重 = 30 kN ←
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 29 kNa = 2.5 mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 110 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 110 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: MA = 366 kN·m
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
分布荷重の合力
W = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m
壁まわりのモーメント
MA = P·a + W·x̄ = 45·6 + 48·2 = 366 kN·m
答え
MA = 366 kN·m
2.はりの支点反力
答え: α = 32.1 °
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
P の成分
Pv = 55·sin 40° = 35.35 kN
Ph = 55·cos 40° = 42.13 kN
反力
ΣMA = 0: RB·8 = 35.35·4 + 35·6 → RB = 43.93 kN
Ay = 35.35 + 35 − 43.93 = 26.43 kN
Ax = Ph = 42.13 kN
A での向き
α = atan(Ay/Ax) = atan(26.43/42.13) = 32.1°
答え
α = 32.1°
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = −4 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·6·3
RB = 72/6 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
x = 4 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 12 − 4·4 = −4 kN
答え
Vx = −4 kN
4.せん断力と曲げモーメント
答え: xc = 3.438 m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·5.5 = 55 kN、作用点 x̄ = 2.75 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·5.5·2.75
RB = 151.3/4 = 37.81 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 37.81 = 17.19 kN
モーメント 0 の位置
支点間では M(x) = RA·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2RA/w で 0 になります。
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·17.19/10 = 3.438 m
答え
xc = 3.438 m
5.トラス：節点法
答え: FBC = −33.54 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·5 = 50·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 30 = 20 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0.8944 = −33.54 kN
答え
FBC = −33.54 kN (圧縮)
6.トラス：節点法
答え: FBC = 9.718 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 − 30·3 → Cy = −5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − −5 = 65 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−5/0.5145 = 9.718 kN
答え
FBC = 9.718 kN (引張)
7.はりのたわみ
答え: δP = 48.95 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 29000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 29000·2500²·3500²/(3·2.52 × 10¹²·6000) = 48.95 mm
答え
δP = 48.95 mm
8.はりのたわみ
答え: Ireq = 3.75 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·2000⁴/(384·200000·5.556) = 3.75 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3.75 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 3.75 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈
答え: Pcr = 444.1 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1000² = 444132 N = 444.1 kN
答え
Pcr = 444.1 kN
10.柱の座屈
答え: d = 58.05 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·110000 = 275000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 58.05 mm
答え
d = 58.05 mm
確認：細長比 KL/r は 137.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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