構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 35 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​ = ?1 m2.5 m2.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 6 mP1 = 35 kN 位置 1 mP2 = 40 kN 位置 3.5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 20 kN, 50°Q = 30 kNABα = ?1 m3.5 m0.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 4.5 m の位置に水平と 50° をなす荷重 P が、A から 1 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力と水平とのなす角 α を求めよ。

L = 5 mP = 20 kN 位置 4.5 m, θ = 50°Q = 30 kN 位置 1 m
α = °
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 4 kN/mAB断面5 m3 m

支点 A から x = 5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mw = 4 kN/m（0 から 8 m まで）x = 5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 2 kN/mP = 55 kNAB断面4 m2 m

支点 A から x = 4 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 55 kN 位置 4 mw = 2 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB10 kN8 m2 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 10 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB20 kN5 kN6 m1 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 20 kN水平荷重 = 5 kN ←
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mδL = 5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 2.5 kN/mABδ5 m

幅 150 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/250 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 2.5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 150 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 20 kNL = 1 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 20 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 20 kNn = 2.5L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 29.17 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 35 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​1 m2.5 m2.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 35·1 + 40·3.5
RB = 175/6 = 29.17 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 29.17 = 45.83 kN

答え

RB = 29.17 kN
2.はりの支点反力

答え: α = 63.27 °

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

Pv = 20·sin 50° = 15.32 kN
Ph = 20·cos 50° = 12.86 kN

反力

ΣMA = 0: RB·5 = 15.32·4.5 + 30·1 → RB = 19.79 kN
Ay = 15.32 + 30 − 19.79 = 25.53 kN
Ax = Ph = 12.86 kN

A での向き

α = atan(Ay/Ax) = atan(25.53/12.86) = 63.27°

答え

α = 63.27°
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 30 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16断面5 m3 m

x = 5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 16·5 − 4·5·2.5 = 30 kN·m

答え

Mx = 30 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 81.33 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·4 + 2·6·3
RB = 256/6 = 42.67 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 42.67 = 24.33 kN
w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​ = 24.33RB​ = 42.67断面4 m2 m

x = 4 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 24.33·4 − 2·4·2 = 81.33 kN·m

答え

Mx = 81.33 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −7.906 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·2 → Cy = 2.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 2.5 = 7.5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/6.325 = 0.3162, cos γ = 6/6.325 = 0.9487
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2.5/0.3162 = −7.906 kN

答え

FBC = −7.906 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FBC = −1.62 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB20 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 20·1 − 5·3 → Cy = 0.8333 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 0.8333 = 19.17 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −0.8333/0.5145 = −1.62 kN

答え

FBC = −1.62 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δmax = 4.36 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 4.36 mm

答え

δmax = 4.36 mm
8.はりのたわみ

答え: hreq = 194.9 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2.5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·5000⁴/(384·11000·20) = 9.248 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·9.248 × 10⁷/150)1/3 = 194.9 mm

答え

hreq = 194.9 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: Pcr = 110.2 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110.2 kN

答え

Pcr = 110.2 kN
10.柱の座屈

答え: d = 49.28 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 49.28 mm

答え

d = 49.28 mm

確認：細長比 KL/r は 162.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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