構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 35 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m3 m6 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 10 mP1 = 35 kN 位置 1 mP2 = 30 kN 位置 4 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 60 kN, 30°Q = 50 kNABRA​ = ?1 m5 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 6 m の位置に水平と 30° をなす荷重 P が、A から 1 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力 RA の大きさを求めよ。

L = 8 mP = 60 kN 位置 6 m, θ = 30°Q = 50 kN 位置 1 m
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 4 kN/mAB断面2.5 m1.5 m

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mw = 4 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 5 kN/mP = 60 kNAB2 m4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 6 mP = 60 kN 位置 2 mw = 5 kN/m（0 から 6 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB20 kN4 m1 m2 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 20 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB50 kN20 kN6 m2 m2 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 50 kN水平荷重 = 20 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mδL = 4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 3 kN/mABδ3.5 m

幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 3 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 2 md = 20 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 5 md = 20 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 15.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 35 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​1 m3 m6 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·10 = 35·1 + 30·4
RB = 155/10 = 15.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 15.5 = 49.5 kN

答え

RB = 15.5 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 72.98 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

Pv = 60·sin 30° = 30 kN
Ph = 60·cos 30° = 51.96 kN

反力

ΣMA = 0: RB·8 = 30·6 + 50·1 → RB = 28.75 kN
Ay = 30 + 50 − 28.75 = 51.25 kN
Ax = Ph = 51.96 kN

A での合力

RA = √(51.96² + 51.25²) = 72.98 kN

答え

RA = 72.98 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 7.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·4·2
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 8RB​ = 8断面2.5 m1.5 m

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 8·2.5 − 4·2.5·1.25 = 7.5 kN·m

答え

Mx = 7.5 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 100 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 5·6·3
RB = 210/6 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 35 = 55 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(2⁻) = RA − w·2 = 45 kN
V(2⁺) = 45 − 60 = −15 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 55·2 − 5·2²/2 = 100 kN·m

答え

Mmax = 100 kN·m

それは A から x = 2 m の位置に生じます。

5.トラス：節点法

答え: FAB = −16.77 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0.8944 = −16.77 kN

答え

FAB = −16.77 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −37.71 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB50 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·2 + 20·2 → Cy = 23.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 23.33 = 26.67 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26.67/0.7071 = −37.71 kN

答え

FAB = −37.71 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δmax = 7.937 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 7.937 mm

答え

δmax = 7.937 mm
8.はりのたわみ

答え: hreq = 173.9 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·9.722) = 5.481 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·5.481 × 10⁷/125)1/3 = 173.9 mm

答え

hreq = 173.9 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: Pcr = 15.5 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1000² = 15503 N = 15.5 kN

答え

Pcr = 15.5 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 7.896 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/5 = 500

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7.896 MPa

答え

σcr = 7.896 MPa

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