構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 40 kNP2​ = 40 kNABCRB​ = ?1 m6 m3 m

はりは A でピン支点、A から 7 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

AB = 7 mAC = 10 mP1 = 40 kN 位置 1 mP2 = 40 kN 位置 10 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 3 kN/mP = 35 kNABRA​ = ?RB​3 m5 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 10 mP = 35 kN 位置 3 mw = 3 kN/m（8 から 10 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 5 kN/mP = 80 kNAB断面2 m2.5 m0.5 m

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 4.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 80 kN 位置 4.5 mw = 5 kN/m（0 から 5 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
4 kN/m25 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

25 kN @ 12 m45 kN @ 6 m4 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB25 kN8 m7 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 7 m鉛直荷重 = 25 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB25 kN5 kN6 m1 m2 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 25 kN水平荷重 = 5 kN ←
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mP = 28 kNABδ3 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 28 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
P = 15 kNP = 15 kNABδ1.333 m1.334 m1.333 m

単純ばりの 3 等分点（各支点から L/3）に等しい集中荷重 P が 2 つ作用する。重ね合わせを用いてスパン中央のたわみ δmax を求めよ。

P = 15 kNL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 2 m30 × 100 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 6 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 62.86 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·7 = 40·1 + 40·10
RB = 440/7 = 62.86 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 40 + 40 − 62.86 = 17.14 kN

答え

RB = 62.86 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 25.1 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 3 kN/mP = 35 kNABRA​RB​3 m5 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN、作用点 x̄ = 9 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·3 + 3·2·9
RB = 159/10 = 15.9 kN
ΣFy = 0: RA = 41 − 15.9 = 25.1 kN

答え

RA = 25.1 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −222.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −80·2.5 = −200 kN·m
w: −5·3²/2 = −22.5 kN·m
Mx = −200 − 22.5 = −222.5 kN·m

答え

Mx = −222.5 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

4.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 14.75 kN, R2 = 87.25 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 21.5, MC = 27, MD = 16.5, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0

答え

点 E: ME = −100 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −22.55 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·7 → Cy = 21.88 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 21.88 = 3.125 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −21.88/0.9701 = −22.55 kN

答え

FBC = −22.55 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −25.16 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB25 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·1 − 5·2 → Cy = 2.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 2.5 = 22.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22.5/0.8944 = −25.16 kN

答え

FAB = −25.16 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δ = 48.08 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 28000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(3EI) = 28000·3000³/(3·8.4 × 10¹²) = 30 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 18.08 mm

足し合わせる

δ = 30 + 18.08 = 48.08 mm

答え

δ = 48.08 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 1.42 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 15000 N, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

L/3 の位置の 1 つの荷重

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 0.7099 mm

両方の荷重を足す

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 1.42 mm

答え

δmax = 1.42 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 226.6 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1400² = 226598 N = 226.6 kN

答え

Pcr = 226.6 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 12.34 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/7.5 = 400

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

答え

σcr = 12.34 MPa

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