構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​ = ?RB​1.5 m1 m1.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 4 mP1 = 60 kN 位置 1.5 mP2 = 45 kN 位置 2.5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 3 kN/mP = 45 kNABCRA​ = ?3 m1 m2 m4 m

はりは A でピン支点、A から 6 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 4 m の位置に集中荷重 P が作用し、3 m から 10 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。

AB = 6 mAC = 10 mP = 45 kN 位置 4 mw = 3 kN/m（3 から 10 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 80 kNP2​ = 75 kNAB1.5 m0.5 m2 m

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 4 mP1 = 80 kN 位置 1.5 mP2 = 75 kN 位置 2 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 4 kN/mP = 40 kNAB断面4 m2 m

支点 A から x = 4 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 40 kN 位置 4 mw = 4 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB60 kN8 m2 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 60 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB25 kN15 kN5 m2 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 25 kN水平荷重 = 15 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
P = 19 kNABδ2 m0.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。

P = 19 kNa = 2 mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 4 kN/mP = 14 kNδL = 2.5 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 14 kNw = 4 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 1 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 3 md = 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 54.38 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​1.5 m1 m1.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 60·1.5 + 45·2.5
RB = 202.5/4 = 50.63 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 50.63 = 54.38 kN

答え

RA = 54.38 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 13.25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 3·7 = 21 kN, x̄ = (3 + 10)/2 = 6.5 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 45·4 + 21·6.5
RB = 316.5/6 = 52.75 kN
RA = 66 − 52.75 = 13.25 kN

答え

RA = 13.25 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 135 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 80·1.5 + 75·2
RB = 270/4 = 67.5 kN
ΣFy = 0: RA = 155 − 67.5 = 87.5 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P1: M = RA·1.5 = 87.5·1.5 = 131.3 kN·m
荷重点 P2: M = RB·2 = 67.5·2 = 135 kN·m

最大値

Mmax = 135 kN·m (荷重点 P2)

答え

Mmax = 135 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 69.33 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·4 + 4·6·3
RB = 232/6 = 38.67 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 38.67 = 25.33 kN
w = 4 kN/mP = 40 kNABRA​ = 25.33RB​ = 38.67断面4 m2 m

x = 4 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 25.33·4 − 4·4·2 = 69.33 kN·m

答え

Mx = 69.33 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAC = 30 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 60·2 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 15 = 45 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/6.708 = 0.4472, cos γ = 6/6.708 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15/0.4472 = −33.54 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−33.54)·0.8944 = 30 kN

答え

FAC = 30 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −3.354 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB25 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·2 + 15·4 → Cy = 22 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 22 = 3 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3/0.8944 = −3.354 kN

答え

FAB = −3.354 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δB = 2.177 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 19000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δP = Pa³/(3EI) = 1.583 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.001187 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.177 mm

答え

δB = 2.177 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 16.65 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 14000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 14000·2500³/(48·3.96 × 10¹¹) = 11.51 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 5.138 mm

足し合わせる

δmax = 11.51 + 5.138 = 16.65 mm

答え

δmax = 16.65 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 78.48 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1000 = 1000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78.48 kN

答え

Pcr = 78.48 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 34.27 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/12.5 = 240

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34.27 MPa

答え

σcr = 34.27 MPa

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