構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 10 kNP2​ = 15 kNABCRA​ = ?5 m1 m2 m

はりは A でピン支点、A から 6 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。

AB = 6 mAC = 8 mP1 = 10 kN 位置 5 mP2 = 15 kN 位置 8 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 6 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?RB​1.5 m1.5 m2 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP = 15 kN 位置 1.5 mw = 6 kN/m（3 から 5 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
4 kN/m60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

60 kN @ 6 m4 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 12 kN/mABC4 m1.5 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5.5 mw = 12 kN/m（0 から 5.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 4 m
MB = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB60 kN5 m2 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 60 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB15 kN30 kN4 m1 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 15 kN水平荷重 = 30 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 22 kNABδ2 m1 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 22 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 6 kN/mP = 27 kNδL = 2.5 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 27 kNw = 6 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 m20 × 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 100 kNL = 6 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 100 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 100 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = −3.333 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·6 = 10·5 + 15·8
RB = 170/6 = 28.33 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 10 + 15 − 28.33 = −3.333 kN

答え

RA = −3.333 kN

RA は負です：A のピンははりを下に押さえつけなければなりません。

2.はりの支点反力

答え: RA = 15.25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 6 kN/mP = 15 kNABRA​RB​1.5 m1.5 m2 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·1.5 + 6·2·4
RB = 70.5/6 = 11.75 kN
ΣFy = 0: RA = 27 − 11.75 = 15.25 kN

答え

RA = 15.25 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 54 kN, R2 = 54 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 100, MC = 184, MD = 252 kN·m, ME = 184, MF = 100, MG = 0

答え

点 D: MD = 252 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: MB = −13.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·5.5 = 66 kN、作用点 x̄ = 2.75 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·5.5·2.75
RB = 181.5/4 = 45.38 kN
ΣFy = 0: RA = 66 − 45.38 = 20.63 kN

B で切断し、張出し部を残す

張出し部の荷重 w·a は B から a/2 の位置に作用し、はりを支点上で上に凸に曲げます（負の曲げ）。

MB = −w·a²/2 = −12·1.5²/2 = −13.5 kN·m

答え

MB = −13.5 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −30 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·2 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 24 = 36 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −24/0.8 = −30 kN

答え

FBC = −30 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = −18.75 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·1 − 30·3 → Cy = −18.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −18.75 = 33.75 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−18.75/0.7071 = 26.52 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(26.52)·0.7071 = −18.75 kN

答え

FAC = −18.75 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δP = 23.28 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 22000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa³/(3EI) = 22000·2000³/(3·2.52 × 10¹²) = 23.28 mm

答え

δP = 23.28 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 6.728 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 27000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 27000·2500³/(48·1.76 × 10¹²) = 4.994 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 1.734 mm

足し合わせる

δmax = 4.994 + 1.734 = 6.728 mm

答え

δmax = 6.728 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 8.773 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1500 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/3000² = 8773 N = 8.773 kN

答え

Pcr = 8.773 kN
10.柱の座屈

答え: d = 85.97 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·100000 = 300000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 85.97 mm

答え

d = 85.97 mm

確認：細長比 KL/r は 195.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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