構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 50 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?2 m3 m3 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 8 mP1 = 50 kN 位置 2 mP2 = 15 kN 位置 5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 12 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?2.5 m0.5 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 5 mP = 35 kN 位置 2.5 mw = 12 kN/m（0 から 3 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 40 kN·mAB3 m7 m

単純ばりに、A から x = 3 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 40 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mM0 = 40 kN·m 時計回り、位置 3 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 8 kN/mP = 55 kNAB断面2 m2 m4 m

支点 A から x = 4 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mP = 55 kN 位置 2 mw = 8 kN/m（0 から 8 m まで）x = 4 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB60 kN5 m3 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 60 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB30 kN30 kN8 m7 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 7 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 30 kN ←
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 10 kNABδ2 m0.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。

P = 10 kNa = 2 mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 6 kN/mP = 6 kNδL = 2 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 6 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 5 md = 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 50 kNL = 2 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 50 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 50 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 21.88 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 50 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​2 m3 m3 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·8 = 50·2 + 15·5
RB = 175/8 = 21.88 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 21.88 = 43.13 kN

答え

RB = 21.88 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 28.3 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 12 kN/mP = 35 kNABRA​RB​2.5 m0.5 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN、作用点 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·2.5 + 12·3·1.5
RB = 141.5/5 = 28.3 kN
ΣFy = 0: RA = 71 − 28.3 = 42.7 kN

答え

RB = 28.3 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 28 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 40/10 = 4 kN (上向き)
RA = −RB = −4 kN (下向き)

偶力のすぐ右で切断

左側部分には RA と偶力が含まれます。

Mx = RA·a + M0 = −4·3 + 40 = 28 kN·m

答え

Mx = 28 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 119 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 55·2 + 8·8·4
RB = 366/8 = 45.75 kN
ΣFy = 0: RA = 119 − 45.75 = 73.25 kN
w = 8 kN/mP = 55 kNABRA​ = 73.25RB​ = 45.75断面2 m2 m4 m

x = 4 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 73.25·4 − 55·(4 − 2) − 8·4·2 = 119 kN·m

答え

Mx = 119 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAC = 24 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·3 → Cy = 36 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 36 = 24 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −36/0.8321 = −43.27 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−43.27)·0.5547 = 24 kN

答え

FAC = 24 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FBC = −11.6 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 − 30·4 → Cy = 11.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 11.25 = 18.75 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11.25/0.9701 = −11.6 kN

答え

FBC = −11.6 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δB = 58.48 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 10000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δP = Pa³/(3EI) = 42.53 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.0319 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 58.48 mm

答え

δB = 58.48 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 5.682 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 6000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 6000·2000³/(48·3.96 × 10¹¹) = 2.525 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 3.157 mm

足し合わせる

δmax = 2.525 + 3.157 = 5.682 mm

答え

δmax = 5.682 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 50.23 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·5000 = 5000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/5000² = 50230 N = 50.23 kN

答え

Pcr = 50.23 kN
10.柱の座屈

答え: d = 51.84 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·50000 = 125000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 51.84 mm

答え

d = 51.84 mm

確認：細長比 KL/r は 108 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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