構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 35 kNP2​ = 50 kNABRA​ = ?RB​1.5 m0.5 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 4 mP1 = 35 kN 位置 1.5 mP2 = 50 kN 位置 2 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 12 kN/mP = 20 kNABRA​RB​ = ?2 m6 m1 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 10 mP = 20 kN 位置 2 mw = 12 kN/m（8 から 9 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 3 kN/mP = 15 kNAB断面0.5 m1.5 m

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 2 mP = 15 kN 位置 2 mw = 3 kN/m（0 から 2 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 2 kN/mABC4 m1 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mw = 2 kN/m（0 から 5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 4 m
MB = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB55 kN8 m5 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 55 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB10 kN15 kN5 m1 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 10 kN水平荷重 = 15 kN →
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 9 kNABδ1.5 m4.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。

P = 9 kNa = 1.5 mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.はりのたわみむずかしい
P = 11 kNABδ7 m1 m

単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。

P = 11 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 5 m40 × 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 10 kNL = 1.5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 10 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 10 kNn = 3L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 46.88 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 35 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​1.5 m0.5 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 35·1.5 + 50·2
RB = 152.5/4 = 38.13 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 38.13 = 46.88 kN

答え

RA = 46.88 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 14.2 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 12 kN/mP = 20 kNABRA​RB​2 m6 m1 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN、作用点 x̄ = 8.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·2 + 12·1·8.5
RB = 142/10 = 14.2 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 14.2 = 17.8 kN

答え

RB = 14.2 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −25.88 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −15·1.5 = −22.5 kN·m
w: −3·1.5²/2 = −3.375 kN·m
Mx = −22.5 − 3.375 = −25.88 kN·m

答え

Mx = −25.88 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

4.せん断力と曲げモーメント

答え: MB = −1 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·5·2.5
RB = 25/4 = 6.25 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 6.25 = 3.75 kN

B で切断し、張出し部を残す

張出し部の荷重 w·a は B から a/2 の位置に作用し、はりを支点上で上に凸に曲げます（負の曲げ）。

MB = −w·a²/2 = −2·1²/2 = −1 kN·m

答え

MB = −1 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −61.97 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·5 → Cy = 34.38 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 34.38 = 20.63 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −34.38/0.5547 = −61.97 kN

答え

FBC = −61.97 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FBC = −19.8 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB10 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·1 + 15·4 → Cy = 14 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 14 = −4 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −14/0.7071 = −19.8 kN

答え

FBC = −19.8 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δB = 34.59 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 9000 N, a = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δP = Pa³/(3EI) = 6.289 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.006289 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 34.59 mm

答え

δB = 34.59 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 7.501 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 11000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1000²)/3) = 4583 mm

最大たわみ

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 7.501 mm

答え

δmax = 7.501 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 5.264 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·5000 = 10000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/10000² = 5264 N = 5.264 kN

答え

Pcr = 5.264 kN
10.柱の座屈

答え: d = 53.12 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 53.12 mm

答え

d = 53.12 mm

確認：細長比 KL/r は 225.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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