熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
290 g のCH₄V = 20 LT = 5 °CP = ?

容積 20 L のタンクに、温度 5 °C のCH₄が 290 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 290 gM = 16.04 g/molV = 20 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
He, M = 4.003 g/molP = 800 kPaT = 100 °Cρ = ?

800 kPa、100 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 800 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側エタノール · 150 °C60 °C水 · 15 °Ct = ? °C

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 60 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側エタノール · 120 °C90 °C水 · 30 °C75 °C · ṁ = ?損失 15%

高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Ct: 30 → 75 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 250 °CTL​ = 40 °CEQH​QL​W

熱機関が 250 °C の高温熱源と 40 °C の低温熱源の間で働く。 可能な最大の熱効率 ηmax を求めよ。

TH = 250 °CTL = 40 °C
ηmax = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 45 °CTL​ = 7 °CHPQ̇H​ = 9.5 kWQ̇L​Ẇ = ?

ヒートポンプが 7 °C の熱源から熱をくみ上げ、45 °C の暖房システムに 9.5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 35% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

TH = 45 °CTL = 7 °CηII = 35%Q̇H = 9.5 kW
Ẇ = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 22、締切比は rc = v₃/v₂ = 2.2 である。 圧縮開始時の空気の温度は 320 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。

r = 22rc = 2.2T1 = 320 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

理想ブレイトンサイクルが圧縮機の圧力比 12 で運転されている。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

rp = 12k = 1.4
η = %

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 2091 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 290/16.04 = 18.08 mol
T = 5 + 273.15 = 278.1 K

圧力

P = nRT/V = 18.08·8.314·278.1/0.02 = 2091 kPa

答え

P = 2091 kPa
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 1.032 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 100 + 273.15 = 373.1 K

密度

ρ = 800·4.003/(8.314·373.1) = 1.032 kg/m³

答え

ρ = 1.032 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 41.27 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 1·2.44·(150 − 60) = 219.6 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 219.6/(2·4.18) = 41.27 °C

答え

tout = 41.27 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 0.3308 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 1·2.44·(120 − 90) = 73.2 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.15)·73.2 = 62.22 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 62.22/(4.18·45) = 0.3308 kg/s

答え

ṁc = 0.3308 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: ηmax = 40.14 %

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 250 + 273.15 = 523.1 K
TL = 40 + 273.15 = 313.1 K

カルノー効率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 313.1/523.1 = 40.14 %

答え

ηmax = 40.14 %
6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 3.242 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 45 + 273.15 = 318.1 K
TL = 7 + 273.15 = 280.1 K

カルノー COP と実際の COP

COPmax = 318.1/(318.1 − 280.1) = 8.372
COP = 0.35·8.372 = 2.93

入力動力

Ẇ = Q̇H/COP = 9.5/2.93 = 3.242 kW

答え

Ẇ = 3.242 kW
7.ガスサイクル

答え: T3 = 2424 K

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

圧縮の終わり

T2 = 320·220.4 = 1102 K

等圧加熱

T3 = rc·T2 = 2.2·1102 = 2424 K

答え

T3 = 2424 K
8.ガスサイクル

答え: η = 50.83 %

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

熱効率

η = 1 − 1/120.2857 = 1 − 1/2.034 = 50.83%

答え

η = 50.83%

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