理想気体の状態方程式
- 理想気体の状態方程式
- pV = nRT
- 気体定数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- ボイル・シャルルの法則
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物質量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
熱力学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
エネルギー収支
- 顕熱
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜熱
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
熱機関と冷凍機
- 効率
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- カルノー効率
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- 冷凍機の COP
- COPR = QC/W
- ヒートポンプの COP
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- エネルギー収支
- QH = W + QC
ガスサイクル
- 等エントロピー変化（体積比）
- T2/T1 = rk−1
- 等エントロピー変化（圧力比）
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- オットーサイクルの効率
- η = 1 − 1/rk−1
- ディーゼルサイクルの効率
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- ブレイトンサイクルの効率
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- 加熱量
- オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
- ブレイトンサイクルの正味仕事
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- 断熱効率
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- 冷空気標準
- k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)
2演習問題
1.理想気体の状態方程式ふつう
容積 30 L のタンクに、温度 25 °C のHeが 70 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。
m = 70 gM = 4.003 g/molV = 30 LT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
150 kPa、0 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。
M = 4.003 g/molP = 150 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 130 → 100 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。
ṁh = 1 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 100 °Ct: 10 → 65 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
熱機関が 200 °C の高温熱源と 15 °C の低温熱源の間で働く。 可能な最大の熱効率 ηmax を求めよ。
TH = 200 °CTL = 15 °C
ηmax = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
冷蔵庫が、35 °C のキッチンで冷蔵室を -20 °C に保ち、冷蔵室から 4.5 kW の熱を取り除く。 可能な最大の成績係数 COPmax を求めよ。
TH = 35 °CTL = -20 °CQ̇L = 4.5 kW
COPmax =
7.ガスサイクルふつう
理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 15、締切比は rc = v₃/v₂ = 3 である。 圧縮開始時の空気の温度は 305 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。
r = 15rc = 3T1 = 305 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 15 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 300 K で圧縮機に入り、1200 K でタービンに入る。 圧縮機の断熱効率は 82%、タービンの断熱効率は 90% である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。
rp = 15T1 = 300 KT3 = 1200 Kηc = 82%ηt = 90%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg
3溶液
1.理想気体の状態方程式
答え: P = 1445 kPa
理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。
物質量
n = m/M = 70/4.003 = 17.49 mol
T = 25 + 273.15 = 298.1 K
圧力
P = nRT/V = 17.49·8.314·298.1/0.03 = 1445 kPa
答え
P = 1445 kPa
2.理想気体の状態方程式
答え: ρ = 0.2644 kg/m³
理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。
状態方程式を変形する
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 0 + 273.15 = 273.1 K
密度
ρ = 150·4.003/(8.314·273.1) = 0.2644 kg/m³
答え
ρ = 0.2644 kg/m³
3.エネルギー収支
答え: tout = 35.84 °C
熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
高温流体が放出する熱
Q = 0.5·2.44·(130 − 100) = 36.6 kW
水が受け取る熱
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 36.6/(1.5·4.18) = 35.84 °C
答え
tout = 35.84 °C
4.エネルギー収支
答え: ṁc = 0.4463 kg/s
損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。
放出熱
Qh = 1·3.6·(130 − 100) = 108 kW
水に届く熱
Qc = (1 − 0.05)·108 = 102.6 kW
水の流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 102.6/(4.18·55) = 0.4463 kg/s
答え
ṁc = 0.4463 kg/s
5.熱機関と冷凍機
答え: ηmax = 39.1 %
第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。
絶対温度
TH = 200 + 273.15 = 473.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K
カルノー効率
ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288.1/473.1 = 39.1 %
答え
ηmax = 39.1 %
6.熱機関と冷凍機
答え: COPmax = 4.603
第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。
絶対温度
TH = 35 + 273.15 = 308.1 K
TL = -20 + 273.15 = 253.1 K
可能な最良の COP
COPR,max = TL/(TH − TL) = 253.1/(308.1 − 253.1) = 4.603
答え
COPmax = 4.603
7.ガスサイクル
答え: T3 = 2703 K
ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。
圧縮の終わり
T2 = 305·150.4 = 901 K
等圧加熱
T3 = rc·T2 = 3·901 = 2703 K
答え
T3 = 2703 K
8.ガスサイクル
答え: wnet = 155.3 kJ/kg
ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。
等エントロピー変化後の温度
T2s = 300·150.2857 = 650.4 K
T4s = 1200/150.2857 = 553.5 K
圧縮機仕事とタービン仕事
wc = 1.005·(650.4 − 300)/0.82 = 429.4 kJ/kg
wt = 0.9·1.005·(1200 − 553.5) = 584.7 kJ/kg
正味仕事
wnet = 584.7 − 429.4 = 155.3 kJ/kg
答え
wnet = 155.3 kJ/kg
後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 73.44%。
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