熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
60 g のCO₂V = 10 LT = 100 °CP = ?

容積 10 L のタンクに、温度 100 °C のCO₂が 60 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 60 gM = 44.01 g/molV = 10 LT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
O₂, M = 32 g/molP = 900 kPaT = 130 °Cρ = ?

900 kPa、130 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 900 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側グリコール混合液 · 140 °C70 °C水 · 15 °Ct = ? °C

高温のグリコール混合液が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側軽油 · 140 °C90 °C水 · 10 °C50 °C · ṁ = ?損失 5%

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 90 °Ct: 10 → 50 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 25 °CTL​ = -25 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 6.5 kWẆ

可逆冷凍機が 6.5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -25 °C に保ち、25 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇H を求めよ。

TL = -25 °CTH = 25 °CQ̇L = 6.5 kW
Q̇H = kW
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 450 °CT0​ = 20 °CTL​ = -25 °CERWQ̇H​ = 200 kWQ̇L​ = ?

カルノー熱機関が 450 °C の熱源から 200 kW の熱を受け取り、20 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -25 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 20 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇L を求めよ。

TH = 450 °CT0 = 20 °CTL = -25 °CQ̇H = 200 kW
Q̇L = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 15、締切比は rc = v₃/v₂ = 1.8 である。 圧縮開始時の空気の温度は 310 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。

r = 15rc = 1.8T1 = 310 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 6 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 288 K で圧縮機に入り、1100 K でタービンに入る。 圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 6T1 = 288 KT3 = 1100 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 423 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 60/44.01 = 1.363 mol
T = 100 + 273.15 = 373.1 K

圧力

P = nRT/V = 1.363·8.314·373.1/0.01 = 423 kPa

答え

P = 423 kPa
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 8.592 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 130 + 273.15 = 403.1 K

密度

ρ = 900·32/(8.314·403.1) = 8.592 kg/m³

答え

ρ = 8.592 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 35.1 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 0.5·3.6·(140 − 70) = 126 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 126/(1.5·4.18) = 35.1 °C

答え

tout = 35.1 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 1.491 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 2.5·2.1·(140 − 90) = 262.5 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.05)·262.5 = 249.4 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 249.4/(4.18·40) = 1.491 kg/s

答え

ṁc = 1.491 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: Q̇H = 7.81 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 25 + 273.15 = 298.1 K
TL = -25 + 273.15 = 248.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 6.5·298.1/248.1 = 7.81 kW

答え

Q̇H = 7.81 kW

入力動力：Ẇ = 1.31 kW。

6.熱機関と冷凍機

答え: Q̇L = 655.8 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 450 + 273.15 = 723.1 K
T0 = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = -25 + 273.15 = 248.1 K

機関の仕事

η = 1 − 293.1/723.1 = 0.5946
Ẇ = 0.5946·200 = 118.9 kW

冷凍機が取り除く熱

COPR = 248.1/(293.1 − 248.1) = 5.514
Q̇L = 5.514·118.9 = 655.8 kW

答え

Q̇L = 655.8 kW
7.ガスサイクル

答え: T3 = 1648 K

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

圧縮の終わり

T2 = 310·150.4 = 915.8 K

等圧加熱

T3 = rc·T2 = 1.8·915.8 = 1648 K

答え

T3 = 1648 K
8.ガスサイクル

答え: wnet = 249.4 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2 = 288·60.2857 = 480.5 K
T4 = 1100/60.2857 = 659.3 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(480.5 − 288) = 193.5 kJ/kg
wt = 1.005·(1100 − 659.3) = 442.9 kJ/kg

正味仕事

wnet = 442.9 − 193.5 = 249.4 kJ/kg

答え

wnet = 249.4 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 43.68%。

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1