熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
90 g のHeP = 450 kPaT = 60 °CV = ?

450 kPa、60 °C において、He 90 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 90 gM = 4.003 g/molP = 450 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
CH₄, M = 16.04 g/molP = 400 kPaT = 70 °Cρ = ?

400 kPa、70 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 400 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側エタノール · 140 °C70 °C水 · 30 °Ct = ? °C

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側グリコール混合液 · 130 °C90 °C水 · 10 °C50 °C · ṁ = ?損失 10%

高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 10% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 90 °Ct: 10 → 50 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 300 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​η = 37%

熱機関が 300 °C の熱源から熱を受け取り、15 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 37% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 300 °CTL = 15 °Cη = 37%
ηII = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 35 °CTL​ = 7 °CHPQ̇H​ = 16.5 kWQ̇L​Ẇ = ?

ヒートポンプが 7 °C の熱源から熱をくみ上げ、35 °C の暖房システムに 16.5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 50% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

TH = 35 °CTL = 7 °CηII = 50%Q̇H = 16.5 kW
Ẇ = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 14、締切比は rc = v₃/v₂ = 1.5 である。 圧縮開始時の空気の温度は 305 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。

r = 14rc = 1.5T1 = 305 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

理想ブレイトンサイクルが圧縮機の圧力比 12 で運転されている。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

rp = 12k = 1.4
η = %

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 138.4 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 90/4.003 = 22.48 mol
T = 60 + 273.15 = 333.1 K

体積

V = nRT/P = 22.48·8.314·333.1/450 = 138.4 L

答え

V = 138.4 L
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 2.249 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 70 + 273.15 = 343.1 K

密度

ρ = 400·16.04/(8.314·343.1) = 2.249 kg/m³

答え

ρ = 2.249 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 40.22 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 0.5·2.44·(140 − 70) = 85.4 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 85.4/(2·4.18) = 40.22 °C

答え

tout = 40.22 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 1.938 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 2.5·3.6·(130 − 90) = 360 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.1)·360 = 324 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 324/(4.18·40) = 1.938 kg/s

答え

ṁc = 1.938 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 74.41 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 300 + 273.15 = 573.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 288.1/573.1 = 49.73 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 37/49.73 = 74.41 %

答え

ηII = 74.41 %
6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 2.999 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 35 + 273.15 = 308.1 K
TL = 7 + 273.15 = 280.1 K

カルノー COP と実際の COP

COPmax = 308.1/(308.1 − 280.1) = 11.01
COP = 0.5·11.01 = 5.503

入力動力

Ẇ = Q̇H/COP = 16.5/5.503 = 2.999 kW

答え

Ẇ = 2.999 kW
7.ガスサイクル

答え: T3 = 1315 K

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

圧縮の終わり

T2 = 305·140.4 = 876.5 K

等圧加熱

T3 = rc·T2 = 1.5·876.5 = 1315 K

答え

T3 = 1315 K
8.ガスサイクル

答え: η = 50.83 %

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

熱効率

η = 1 − 1/120.2857 = 1 − 1/2.034 = 50.83%

答え

η = 50.83%

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