熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
350 g のN₂P = 200 kPaT = 85 °CV = ?

200 kPa、85 °C において、N₂ 350 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 350 gM = 28.01 g/molP = 200 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
He, M = 4.003 g/molP = 750 kPaT = 80 °Cρ = ?

750 kPa、80 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 750 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側グリコール混合液 · 140 °C110 °C水 · 15 °Ct = ? °C

高温のグリコール混合液が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 140 → 110 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側エタノール · 180 °C100 °C水 · 30 °C45 °C · ṁ = ?損失 5%

高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 180 → 100 °Ct: 30 → 45 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 775 °CTL​ = 25 °CEQH​ = 2300 kJQL​W = ?

熱機関が 775 °C の高温熱源と 25 °C の低温熱源の間で働く。 この機関は 2300 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 Wmax を求めよ。

TH = 775 °CTL = 25 °CQH = 2300 kJ
Wmax = kJ
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 30 °CTL​ = 4 °CRQ̇H​Q̇L​ = 2 kWẆ = ?

冷蔵庫が、30 °C のキッチンで冷蔵室を 4 °C に保ち、冷蔵室から 2 kW の熱を取り除く。 必要な最小入力動力 Ẇmin を求めよ。

TH = 30 °CTL = 4 °CQ̇L = 2 kW
Ẇmin = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 22、締切比は rc = v₃/v₂ = 1.8 である。 圧縮開始時の空気の温度は 310 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの加熱量 qin を kJ/kg で求めよ。

r = 22rc = 1.8T1 = 310 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

理想ブレイトンサイクルが圧縮機の圧力比 6 で運転されている。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

rp = 6k = 1.4
η = %

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 186 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 350/28.01 = 12.5 mol
T = 85 + 273.15 = 358.1 K

体積

V = nRT/P = 12.5·8.314·358.1/200 = 186 L

答え

V = 186 L
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 1.023 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 80 + 273.15 = 353.1 K

密度

ρ = 750·4.003/(8.314·353.1) = 1.023 kg/m³

答え

ρ = 1.023 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 58.06 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 2.5·3.6·(140 − 110) = 270 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 270/(1.5·4.18) = 58.06 °C

答え

tout = 58.06 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 1.479 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 0.5·2.44·(180 − 100) = 97.6 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.05)·97.6 = 92.72 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 92.72/(4.18·15) = 1.479 kg/s

答え

ṁc = 1.479 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: Wmax = 1646 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 775 + 273.15 = 1048 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

カルノー効率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 298.1/1048 = 71.55 %

最大仕事

Wmax = ηmax·QH = 0.7155·2300 = 1646 kJ

答え

Wmax = 1646 kJ
6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇmin = 0.1876 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 30 + 273.15 = 303.1 K
TL = 4 + 273.15 = 277.1 K

可能な最良の COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 277.1/(303.1 − 277.1) = 10.66

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇmin = Q̇L/COP = 2/10.66 = 0.1876 kW

答え

Ẇmin = 0.1876 kW
7.ガスサイクル

答え: qin = 858.2 kJ/kg

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

温度

T2 = 310·220.4 = 1067 K
T3 = 1.8·1067 = 1921 K

等圧加熱量

qin = 1.005·(1921 − 1067) = 858.2 kJ/kg

答え

qin = 858.2 kJ/kg
8.ガスサイクル

答え: η = 40.07 %

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

熱効率

η = 1 − 1/60.2857 = 1 − 1/1.669 = 40.07%

答え

η = 40.07%

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