熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜熱: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）: T₂/T₁ = r^k−1
等エントロピー変化（圧力比）: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
オットーサイクルの効率: η = 1 − 1/r^k−1
ディーゼルサイクルの効率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ブレイトンサイクルの効率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
加熱量: オットー：c_v(T₃ − T₂) ディーゼル、ブレイトン：c_p(T₃ − T₂)
ブレイトンサイクルの正味仕事: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
断熱効率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空気標準: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 35 °C のCO₂が 300 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 300 gM = 44.01 g/molV = 5 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のCO₂が 350 kPa、10 L、40 °C から 400 kPa、200 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 350 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 200 °C

V₂ = L

3.エネルギー収支ふつう

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 t_out を求めよ。

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Cṁ_c = 0.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.エネルギー収支むずかしい

高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁ_c を求めよ。

ṁ_h = 2.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 70 °Ct: 15 → 80 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 525 °C の熱源から 4600 kJ の熱を受け取り、1661 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 525 °CQ_H = 4600 kJQ_L = 1661 kJ

T_L = °C

6.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 500 °C の熱源から 700 kJ の熱を受け取り、217 kJ の仕事をして、残りを 20 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 500 °CT_L = 20 °CQ_H = 700 kJW = 217 kJ

S_gen = kJ/K

7.ガスサイクルふつう

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 14、締切比は r_c = v₃/v₂ = 1.5 である。圧縮開始時の空気の温度は 320 K である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの加熱量 q_in を kJ/kg で求めよ。

r = 14r_c = 1.5T₁ = 320 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.ガスサイクルむずかしい

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 14 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 288 K で圧縮機に入り、1300 K でタービンに入る。圧縮機の断熱効率は 85%、タービンの断熱効率は 92% である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの正味仕事 w_net を kJ/kg で求めよ。

r_p = 14T₁ = 288 KT₃ = 1300 Kη_c = 85%η_t = 92%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 3493 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 300/44.01 = 6.817 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

圧力

P = nRT/V = 6.817·8.314·308.1/0.005 = 3493 kPa

答え

P = 3493 kPa

2.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 13.22 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 473.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(350/400)·(473.1/313.1) = 13.22 L

答え

V₂ = 13.22 L

3.エネルギー収支

答え: t_out = 50.02 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

高温流体が放出する熱

Q = 0.5·2.44·(140 − 80) = 73.2 kW

水が受け取る熱

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 73.2/(0.5·4.18) = 50.02 °C

答え

t_out = 50.02 °C

4.エネルギー収支

答え: ṁ_c = 1.493 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Q_h = 2.5·2.44·(140 − 70) = 427 kW

水に届く熱

Q_c = (1 − 0.05)·427 = 405.6 kW

水の流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 405.6/(4.18·65) = 1.493 kg/s

答え

ṁ_c = 1.493 kg/s

5.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 15.05 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 525 + 273.15 = 798.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 798.1·1661/4600 = 288.2 K = 15.05 °C

答え

T_L = 15.05 °C

6.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 0.7422 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 700 − 217 = 483 kJ

絶対温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −700/773.1 = −0.9054 kJ/K

ΔS_L = 483/293.1 = 1.648 kJ/K

S_gen = 1.648 − 0.9054 = 0.7422 kJ/K

答え

S_gen = 0.7422 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

7.ガスサイクル

答え: q_in = 462.1 kJ/kg

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 r_c = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·r^k−1、T₃ = r_c·T₂、q_in = c_p·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)) です。

温度

T₂ = 320·14^0.4 = 919.6 K

T₃ = 1.5·919.6 = 1379 K

等圧加熱量

q_in = 1.005·(1379 − 919.6) = 462.1 kJ/kg

答え

q_in = 462.1 kJ/kg

8.ガスサイクル

答え: w_net = 253.2 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 r_p = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k、T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k、η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k です。正味仕事 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には w_s/η_c が必要で、タービンは η_t·w_s を出します。

等エントロピー変化後の温度

T_2s = 288·14^0.2857 = 612.1 K

T_4s = 1300/14^0.2857 = 611.6 K

圧縮機仕事とタービン仕事

w_c = 1.005·(612.1 − 288)/0.85 = 383.3 kJ/kg

w_t = 0.92·1.005·(1300 − 611.6) = 636.5 kJ/kg

正味仕事

w_net = 636.5 − 383.3 = 253.2 kJ/kg

答え

w_net = 253.2 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：w_c/w_t = 60.22%。

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