熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
450 g のCH₄P = 400 kPaT = 45 °CV = ?

400 kPa、45 °C において、CH₄ 450 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 450 gM = 16.04 g/molP = 400 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
He, M = 4.003 g/molP = 600 kPaT = 30 °Cρ = ?

600 kPa、30 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 600 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側エタノール · 160 °C100 °C水 · 20 °Ct = ? °C

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 160 → 100 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側軽油 · 150 °C120 °C水 · 25 °C85 °C · ṁ = ?損失 10%

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 10% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 120 °Ct: 25 → 85 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 40 °CTL​ = -18 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 5.5 kWẆ

可逆冷凍機が 5.5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -18 °C に保ち、40 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇H を求めよ。

TL = -18 °CTH = 40 °CQ̇L = 5.5 kW
Q̇H = kW
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 1000 °CT0​ = 30 °CTL​ = -25 °CERWQ̇H​ = 120 kWQ̇L​ = ?

カルノー熱機関が 1000 °C の熱源から 120 kW の熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -25 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 30 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇L を求めよ。

TH = 1000 °CT0 = 30 °CTL = -25 °CQ̇H = 120 kW
Q̇L = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 16、締切比は rc = v₃/v₂ = 2.2 である。 圧縮開始時の空気の温度は 310 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの加熱量 qin を kJ/kg で求めよ。

r = 16rc = 2.2T1 = 310 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 14 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 295 K で圧縮機に入り、1500 K でタービンに入る。 圧縮機の断熱効率は 88%、タービンの断熱効率は 85% である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 14T1 = 295 KT3 = 1500 Kηc = 88%ηt = 85%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 185.5 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 450/16.04 = 28.05 mol
T = 45 + 273.15 = 318.1 K

体積

V = nRT/P = 28.05·8.314·318.1/400 = 185.5 L

答え

V = 185.5 L
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 0.9529 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 30 + 273.15 = 303.1 K

密度

ρ = 600·4.003/(8.314·303.1) = 0.9529 kg/m³

答え

ρ = 0.9529 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 37.51 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 1.5·2.44·(160 − 100) = 219.6 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 219.6/(3·4.18) = 37.51 °C

答え

tout = 37.51 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 0.2261 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 1·2.1·(150 − 120) = 63 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.1)·63 = 56.7 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 56.7/(4.18·60) = 0.2261 kg/s

答え

ṁc = 0.2261 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: Q̇H = 6.75 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 40 + 273.15 = 313.1 K
TL = -18 + 273.15 = 255.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 5.5·313.1/255.1 = 6.75 kW

答え

Q̇H = 6.75 kW

入力動力：Ẇ = 1.25 kW。

6.熱機関と冷凍機

答え: Q̇L = 412.5 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 1000 + 273.15 = 1273 K
T0 = 30 + 273.15 = 303.1 K
TL = -25 + 273.15 = 248.1 K

機関の仕事

η = 1 − 303.1/1273 = 0.7619
Ẇ = 0.7619·120 = 91.43 kW

冷凍機が取り除く熱

COPR = 248.1/(303.1 − 248.1) = 4.512
Q̇L = 4.512·91.43 = 412.5 kW

答え

Q̇L = 412.5 kW
7.ガスサイクル

答え: qin = 1133 kJ/kg

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

温度

T2 = 310·160.4 = 939.7 K
T3 = 2.2·939.7 = 2067 K

等圧加熱量

qin = 1.005·(2067 − 939.7) = 1133 kJ/kg

答え

qin = 1133 kJ/kg
8.ガスサイクル

答え: wnet = 299.3 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2s = 295·140.2857 = 627 K
T4s = 1500/140.2857 = 705.7 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(627 − 295)/0.88 = 379.2 kJ/kg
wt = 0.85·1.005·(1500 − 705.7) = 678.5 kJ/kg

正味仕事

wnet = 678.5 − 379.2 = 299.3 kJ/kg

答え

wnet = 299.3 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 55.88%。

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