熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
330 g のHeV = 20 LT = 50 °CP = ?

容積 20 L のタンクに、温度 50 °C のHeが 330 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 330 gM = 4.003 g/molV = 20 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
He, M = 4.003 g/molP = 100 kPaT = 10 °Cρ = ?

100 kPa、10 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 100 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側エタノール · 140 °C110 °C水 · 10 °Ct = ? °C

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 110 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側軽油 · 120 °C90 °C水 · 20 °C45 °C · ṁ = ?損失 5%

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Ct: 20 → 45 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 25 °CTL​ = 2 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 8 kWẆ

可逆冷凍機が 8 kW の熱を取り除いて冷蔵室を 2 °C に保ち、25 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇H を求めよ。

TL = 2 °CTH = 25 °CQ̇L = 8 kW
Q̇H = kW
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 32 °CTL​ = 4 °CRQ̇H​Q̇L​ = 2.5 kWẆ

冷蔵庫が、32 °C のキッチンで冷蔵室を 4 °C に保ち、冷蔵室から 2.5 kW の熱を取り除く。 可能な最大の成績係数 COPmax を求めよ。

TH = 32 °CTL = 4 °CQ̇L = 2.5 kW
COPmax =
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 15、締切比は rc = v₃/v₂ = 2.5 である。 圧縮開始時の空気の温度は 310 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。

r = 15rc = 2.5T1 = 310 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 10 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 300 K で圧縮機に入り、1400 K でタービンに入る。 圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 10T1 = 300 KT3 = 1400 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 11074 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 330/4.003 = 82.44 mol
T = 50 + 273.15 = 323.1 K

圧力

P = nRT/V = 82.44·8.314·323.1/0.02 = 11074 kPa

答え

P = 11074 kPa
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 0.17 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 10 + 273.15 = 283.1 K

密度

ρ = 100·4.003/(8.314·283.1) = 0.17 kg/m³

答え

ρ = 0.17 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 31.89 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 2.5·2.44·(140 − 110) = 183 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 183/(2·4.18) = 31.89 °C

答え

tout = 31.89 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 1.432 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 2.5·2.1·(120 − 90) = 157.5 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.05)·157.5 = 149.6 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 149.6/(4.18·25) = 1.432 kg/s

答え

ṁc = 1.432 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: Q̇H = 8.669 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 25 + 273.15 = 298.1 K
TL = 2 + 273.15 = 275.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 8·298.1/275.1 = 8.669 kW

答え

Q̇H = 8.669 kW

入力動力：Ẇ = 0.6687 kW。

6.熱機関と冷凍機

答え: COPmax = 9.898

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 32 + 273.15 = 305.1 K
TL = 4 + 273.15 = 277.1 K

可能な最良の COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 277.1/(305.1 − 277.1) = 9.898

答え

COPmax = 9.898
7.ガスサイクル

答え: T3 = 2289 K

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

圧縮の終わり

T2 = 310·150.4 = 915.8 K

等圧加熱

T3 = rc·T2 = 2.5·915.8 = 2289 K

答え

T3 = 2289 K
8.ガスサイクル

答え: wnet = 397.6 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2 = 300·100.2857 = 579.2 K
T4 = 1400/100.2857 = 725.1 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(579.2 − 300) = 280.6 kJ/kg
wt = 1.005·(1400 − 725.1) = 678.2 kJ/kg

正味仕事

wnet = 678.2 − 280.6 = 397.6 kJ/kg

答え

wnet = 397.6 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 41.37%。

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