熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
420 g のArP = 300 kPaT = 10 °CV = ?

300 kPa、10 °C において、Ar 420 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 420 gM = 39.95 g/molP = 300 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
O₂, M = 32 g/molP = 250 kPaT = 10 °Cρ = ?

250 kPa、10 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 250 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側軽油 · 140 °C70 °C水 · 20 °Ct = ? °C

高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側軽油 · 170 °C100 °C水 · 20 °C65 °C · ṁ = ?損失 15%

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 170 → 100 °Ct: 20 → 65 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 725 °CTL​ = 35 °CEQH​ = 1000 kJQL​W = ?

熱機関が 725 °C の高温熱源と 35 °C の低温熱源の間で働く。 この機関は 1000 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 Wmax を求めよ。

TH = 725 °CTL = 35 °CQH = 1000 kJ
Wmax = kJ
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 22 °CTL​ = 7 °CHPQ̇H​ = 7 kWQ̇L​Ẇ

ヒートポンプが、外気 7 °C のときに家を 22 °C に保ち、家に 7 kW の熱を供給する。 可能な最大の成績係数 COPmax を求めよ。

TH = 22 °CTL = 7 °CQ̇H = 7 kW
COPmax =
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 22、締切比は rc = v₃/v₂ = 2.5 である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

r = 22rc = 2.5k = 1.4
η = %
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

理想ブレイトンサイクルが圧縮機の圧力比 10 で運転されている。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

rp = 10k = 1.4
η = %

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 82.5 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 420/39.95 = 10.51 mol
T = 10 + 273.15 = 283.1 K

体積

V = nRT/P = 10.51·8.314·283.1/300 = 82.5 L

答え

V = 82.5 L
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 3.398 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 10 + 273.15 = 283.1 K

密度

ρ = 250·32/(8.314·283.1) = 3.398 kg/m³

答え

ρ = 3.398 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 55.17 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 3·2.1·(140 − 70) = 441 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 441/(3·4.18) = 55.17 °C

答え

tout = 55.17 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 1.993 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 3·2.1·(170 − 100) = 441 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.15)·441 = 374.9 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 374.9/(4.18·45) = 1.993 kg/s

答え

ṁc = 1.993 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: Wmax = 691.3 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 725 + 273.15 = 998.1 K
TL = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 308.1/998.1 = 69.13 %

最大仕事

Wmax = ηmax·QH = 0.6913·1000 = 691.3 kJ

答え

Wmax = 691.3 kJ
6.熱機関と冷凍機

答え: COPmax = 19.68

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 22 + 273.15 = 295.1 K
TL = 7 + 273.15 = 280.1 K

可能な最良の COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 295.1/(295.1 − 280.1) = 19.68

答え

COPmax = 19.68
7.ガスサイクル

答え: η = 63.95 %

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

締切比の項

(2.51.4 − 1)/(1.4·(2.5 − 1)) = 1.241

熱効率

η = 1 − 0.2904·1.241 = 63.95%

答え

η = 63.95%
8.ガスサイクル

答え: η = 48.21 %

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

熱効率

η = 1 − 1/100.2857 = 1 − 1/1.931 = 48.21%

答え

η = 48.21%

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