熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜熱: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）: T₂/T₁ = r^k−1
等エントロピー変化（圧力比）: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
オットーサイクルの効率: η = 1 − 1/r^k−1
ディーゼルサイクルの効率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ブレイトンサイクルの効率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
加熱量: オットー：c_v(T₃ − T₂) ディーゼル、ブレイトン：c_p(T₃ − T₂)
ブレイトンサイクルの正味仕事: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
断熱効率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空気標準: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう

300 kPa、10 °C において、O₂ 410 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 410 gM = 32 g/molP = 300 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.理想気体の状態方程式むずかしい

1000 kPa、90 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 1000 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.エネルギー収支ふつう

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 t_out を求めよ。

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Cṁ_c = 0.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.エネルギー収支むずかしい

高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁ_c を求めよ。

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 130 °Ct: 15 → 60 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 1 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -20 °C に保ち、35 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -20 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 1 kW

Q̇_H = kW

6.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 0 °C のときに家を 22 °C に保ち、家に 12 kW の熱を供給する。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 12 kW

Ẇ_min = kW

7.ガスサイクルふつう

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 16、締切比は r_c = v₃/v₂ = 2 である。圧縮開始時の空気の温度は 295 K である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。加熱終わりの温度 T₃ を K で求めよ。

r = 16r_c = 2T₁ = 295 Kk = 1.4

T₃ = K

8.ガスサイクルむずかしい

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 18 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 290 K で圧縮機に入り、1200 K でタービンに入る。圧縮機の断熱効率は 85%、タービンの断熱効率は 90% である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの正味仕事 w_net を kJ/kg で求めよ。

r_p = 18T₁ = 290 KT₃ = 1200 Kη_c = 85%η_t = 90%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 100.5 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 410/32 = 12.81 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

体積

V = nRT/P = 12.81·8.314·283.1/300 = 100.5 L

答え

V = 100.5 L

2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 14.58 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

密度

ρ = 1000·44.01/(8.314·363.1) = 14.58 kg/m³

答え

ρ = 14.58 kg/m³

3.エネルギー収支

答え: t_out = 85.05 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

高温流体が放出する熱

Q = 2·2.44·(130 − 100) = 146.4 kW

水が受け取る熱

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 146.4/(0.5·4.18) = 85.05 °C

答え

t_out = 85.05 °C

4.エネルギー収支

答え: ṁ_c = 0.8134 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Q_h = 1·3.6·(180 − 130) = 180 kW

水に届く熱

Q_c = (1 − 0.15)·180 = 153 kW

水の流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 153/(4.18·45) = 0.8134 kg/s

答え

ṁ_c = 0.8134 kg/s

5.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 1.217 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1·308.1/253.1 = 1.217 kW

答え

Q̇_H = 1.217 kW

入力動力：Ẇ = 0.2173 kW。

6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.8945 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 12/13.42 = 0.8945 kW

答え

Ẇ_min = 0.8945 kW

7.ガスサイクル

答え: T₃ = 1789 K

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 r_c = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·r^k−1、T₃ = r_c·T₂、q_in = c_p·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)) です。

圧縮の終わり

T₂ = 295·16^0.4 = 894.3 K

等圧加熱

T₃ = r_c·T₂ = 2·894.3 = 1789 K

答え

T₃ = 1789 K

8.ガスサイクル

答え: w_net = 170 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 r_p = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k、T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k、η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k です。正味仕事 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には w_s/η_c が必要で、タービンは η_t·w_s を出します。

等エントロピー変化後の温度

T_2s = 290·18^0.2857 = 662.3 K

T_4s = 1200/18^0.2857 = 525.5 K

圧縮機仕事とタービン仕事

w_c = 1.005·(662.3 − 290)/0.85 = 440.2 kJ/kg

w_t = 0.9·1.005·(1200 − 525.5) = 610.1 kJ/kg

正味仕事

w_net = 610.1 − 440.2 = 170 kJ/kg

答え

w_net = 170 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：w_c/w_t = 72.14%。

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