熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
370 g のCH₄P = 550 kPaT = 55 °CV = ?

550 kPa、55 °C において、CH₄ 370 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 370 gM = 16.04 g/molP = 550 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のHeが 100 kPa、10 L、20 °C から 450 kPa、190 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 100 kPaV1 = 10 LT1 = 20 °CP2 = 450 kPaT2 = 190 °C
V2 = L
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側軽油 · 140 °C70 °C水 · 15 °Ct = ? °C

高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側軽油 · 180 °C90 °C水 · 15 °C80 °C · ṁ = ?損失 15%

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 90 °Ct: 15 → 80 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 850 °CTL​ = 25 °CEQH​QL​η = 51%

熱機関が 850 °C の熱源から熱を受け取り、25 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 51% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 850 °CTL = 25 °Cη = 51%
ηII = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 22 °CTL​ = 7 °CHPQ̇H​ = 9 kWQ̇L​Ẇ = ?

ヒートポンプが 7 °C の熱源から熱をくみ上げ、22 °C の暖房システムに 9 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 30% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

TH = 22 °CTL = 7 °CηII = 30%Q̇H = 9 kW
Ẇ = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 14、締切比は rc = v₃/v₂ = 2.5 である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

r = 14rc = 2.5k = 1.4
η = %
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 18 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 300 K で圧縮機に入り、1100 K でタービンに入る。 圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 18T1 = 300 KT3 = 1100 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 114.4 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 370/16.04 = 23.07 mol
T = 55 + 273.15 = 328.1 K

体積

V = nRT/P = 23.07·8.314·328.1/550 = 114.4 L

答え

V = 114.4 L
2.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 3.511 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 293.1 K, T2 = 463.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(100/450)·(463.1/293.1) = 3.511 L

答え

V2 = 3.511 L
3.エネルギー収支

答え: tout = 85.33 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 3·2.1·(140 − 70) = 441 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 441/(1.5·4.18) = 85.33 °C

答え

tout = 85.33 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 1.774 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 3·2.1·(180 − 90) = 567 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.15)·567 = 482 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 482/(4.18·65) = 1.774 kg/s

答え

ṁc = 1.774 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 69.43 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 850 + 273.15 = 1123 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 298.1/1123 = 73.45 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 51/73.45 = 69.43 %

答え

ηII = 69.43 %
6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 1.525 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 22 + 273.15 = 295.1 K
TL = 7 + 273.15 = 280.1 K

カルノー COP と実際の COP

COPmax = 295.1/(295.1 − 280.1) = 19.68
COP = 0.3·19.68 = 5.903

入力動力

Ẇ = Q̇H/COP = 9/5.903 = 1.525 kW

答え

Ẇ = 1.525 kW
7.ガスサイクル

答え: η = 56.81 %

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

締切比の項

(2.51.4 − 1)/(1.4·(2.5 − 1)) = 1.241

熱効率

η = 1 − 0.348·1.241 = 56.81%

答え

η = 56.81%
8.ガスサイクル

答え: wnet = 234.4 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2 = 300·180.2857 = 685.1 K
T4 = 1100/180.2857 = 481.7 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(685.1 − 300) = 387.1 kJ/kg
wt = 1.005·(1100 − 481.7) = 621.4 kJ/kg

正味仕事

wnet = 621.4 − 387.1 = 234.4 kJ/kg

答え

wnet = 234.4 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 62.28%。

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