熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜熱: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）: T₂/T₁ = r^k−1
等エントロピー変化（圧力比）: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
オットーサイクルの効率: η = 1 − 1/r^k−1
ディーゼルサイクルの効率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ブレイトンサイクルの効率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
加熱量: オットー：c_v(T₃ − T₂) ディーゼル、ブレイトン：c_p(T₃ − T₂)
ブレイトンサイクルの正味仕事: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
断熱効率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空気標準: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう

200 kPa、90 °C において、O₂ 90 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 90 gM = 32 g/molP = 200 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.理想気体の状態方程式むずかしい

450 kPa、170 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 450 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.エネルギー収支ふつう

高温のグリコール混合液が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 t_out を求めよ。

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 80 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.エネルギー収支むずかしい

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁ_c を求めよ。

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 90 °Ct: 30 → 65 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 375 °C の高温熱源と 10 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 3700 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 375 °CT_L = 10 °CQ_H = 3700 kJ

W_max = kJ

6.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 850 °C の熱源から 1600 kJ の熱を受け取り、800 kJ の仕事をして、残りを 40 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 850 °CT_L = 40 °CQ_H = 1600 kJW = 800 kJ

S_gen = kJ/K

7.ガスサイクルふつう

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 15、締切比は r_c = v₃/v₂ = 1.5 である。圧縮開始時の空気の温度は 305 K である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの加熱量 q_in を kJ/kg で求めよ。

r = 15r_c = 1.5T₁ = 305 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.ガスサイクルむずかしい

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 8 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 310 K で圧縮機に入り、1100 K でタービンに入る。圧縮機の断熱効率は 82%、タービンの断熱効率は 90% である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの正味仕事 w_net を kJ/kg で求めよ。

r_p = 8T₁ = 310 KT₃ = 1100 Kη_c = 82%η_t = 90%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 42.46 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 90/32 = 2.813 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

体積

V = nRT/P = 2.813·8.314·363.1/200 = 42.46 L

答え

V = 42.46 L

2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 3.908 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273.15 = 443.1 K

密度

ρ = 450·32/(8.314·443.1) = 3.908 kg/m³

答え

ρ = 3.908 kg/m³

3.エネルギー収支

答え: t_out = 67.42 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

高温流体が放出する熱

Q = 2·3.6·(180 − 80) = 720 kW

水が受け取る熱

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 720/(3·4.18) = 67.42 °C

答え

t_out = 67.42 °C

4.エネルギー収支

答え: ṁ_c = 1.636 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Q_h = 2·2.1·(150 − 90) = 252 kW

水に届く熱

Q_c = (1 − 0.05)·252 = 239.4 kW

水の流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 239.4/(4.18·35) = 1.636 kg/s

答え

ṁ_c = 1.636 kg/s

5.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 2084 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 375 + 273.15 = 648.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/648.1 = 56.31 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.5631·3700 = 2084 kJ

答え

W_max = 2084 kJ

6.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 1.13 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 1600 − 800 = 800 kJ

絶対温度

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −1600/1123 = −1.425 kJ/K

ΔS_L = 800/313.1 = 2.555 kJ/K

S_gen = 2.555 − 1.425 = 1.13 kJ/K

答え

S_gen = 1.13 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

7.ガスサイクル

答え: q_in = 452.8 kJ/kg

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 r_c = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·r^k−1、T₃ = r_c·T₂、q_in = c_p·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)) です。

温度

T₂ = 305·15^0.4 = 901 K

T₃ = 1.5·901 = 1352 K

等圧加熱量

q_in = 1.005·(1352 − 901) = 452.8 kJ/kg

答え

q_in = 452.8 kJ/kg

8.ガスサイクル

答え: w_net = 137.4 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 r_p = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k、T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k、η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k です。正味仕事 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には w_s/η_c が必要で、タービンは η_t·w_s を出します。

等エントロピー変化後の温度

T_2s = 310·8^0.2857 = 561.5 K

T_4s = 1100/8^0.2857 = 607.2 K

圧縮機仕事とタービン仕事

w_c = 1.005·(561.5 − 310)/0.82 = 308.3 kJ/kg

w_t = 0.9·1.005·(1100 − 607.2) = 445.7 kJ/kg

正味仕事

w_net = 445.7 − 308.3 = 137.4 kJ/kg

答え

w_net = 137.4 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：w_c/w_t = 69.17%。

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