熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
320 g のArV = 10 LT = 80 °CP = ?

容積 10 L のタンクに、温度 80 °C のArが 320 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 320 gM = 39.95 g/molV = 10 LT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のO₂が 400 kPa、5 L、35 °C から 150 kPa、190 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 400 kPaV1 = 5 LT1 = 35 °CP2 = 150 kPaT2 = 190 °C
V2 = L
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側エタノール · 150 °C110 °C水 · 25 °Ct = ? °C

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 110 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側エタノール · 120 °C90 °C水 · 25 °C90 °C · ṁ = ?損失 15%

高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Ct: 25 → 90 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 850 °CTL​ = 40 °CEQH​QL​η = 36%

熱機関が 850 °C の熱源から熱を受け取り、40 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 36% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 850 °CTL = 40 °Cη = 36%
ηII = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 28 °CTL​ = 5 °CRQ̇H​Q̇L​ = 2 kWẆ

冷蔵庫が、28 °C のキッチンで冷蔵室を 5 °C に保ち、冷蔵室から 2 kW の熱を取り除く。 可能な最大の成績係数 COPmax を求めよ。

TH = 28 °CTL = 5 °CQ̇L = 2 kW
COPmax =
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 20、締切比は rc = v₃/v₂ = 2.5 である。 圧縮開始時の空気の温度は 305 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。

r = 20rc = 2.5T1 = 305 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 16 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 295 K で圧縮機に入り、1300 K でタービンに入る。 圧縮機の断熱効率は 80%、タービンの断熱効率は 92% である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 16T1 = 295 KT3 = 1300 Kηc = 80%ηt = 92%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 2352 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 320/39.95 = 8.01 mol
T = 80 + 273.15 = 353.1 K

圧力

P = nRT/V = 8.01·8.314·353.1/0.01 = 2352 kPa

答え

P = 2352 kPa
2.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 20.04 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 308.1 K, T2 = 463.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(400/150)·(463.1/308.1) = 20.04 L

答え

V2 = 20.04 L
3.エネルギー収支

答え: tout = 60.02 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 3·2.44·(150 − 110) = 292.8 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 292.8/(2·4.18) = 60.02 °C

答え

tout = 60.02 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 0.1145 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 0.5·2.44·(120 − 90) = 36.6 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.15)·36.6 = 31.11 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 31.11/(4.18·65) = 0.1145 kg/s

答え

ṁc = 0.1145 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 49.92 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 850 + 273.15 = 1123 K
TL = 40 + 273.15 = 313.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 313.1/1123 = 72.12 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 36/72.12 = 49.92 %

答え

ηII = 49.92 %
6.熱機関と冷凍機

答え: COPmax = 12.09

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 28 + 273.15 = 301.1 K
TL = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能な最良の COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 278.1/(301.1 − 278.1) = 12.09

答え

COPmax = 12.09
7.ガスサイクル

答え: T3 = 2527 K

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

圧縮の終わり

T2 = 305·200.4 = 1011 K

等圧加熱

T3 = rc·T2 = 2.5·1011 = 2527 K

答え

T3 = 2527 K
8.ガスサイクル

答え: wnet = 209.9 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2s = 295·160.2857 = 651.4 K
T4s = 1300/160.2857 = 588.7 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(651.4 − 295)/0.8 = 447.7 kJ/kg
wt = 0.92·1.005·(1300 − 588.7) = 657.6 kJ/kg

正味仕事

wnet = 657.6 − 447.7 = 209.9 kJ/kg

答え

wnet = 209.9 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 68.08%。

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1