理想気体の状態方程式
- 理想気体の状態方程式
- pV = nRT
- 気体定数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- ボイル・シャルルの法則
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物質量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
熱力学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
エネルギー収支
- 顕熱
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜熱
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
熱機関と冷凍機
- 効率
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- カルノー効率
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- 冷凍機の COP
- COPR = QC/W
- ヒートポンプの COP
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- エネルギー収支
- QH = W + QC
ガスサイクル
- 等エントロピー変化（体積比）
- T2/T1 = rk−1
- 等エントロピー変化（圧力比）
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- オットーサイクルの効率
- η = 1 − 1/rk−1
- ディーゼルサイクルの効率
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- ブレイトンサイクルの効率
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- 加熱量
- オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
- ブレイトンサイクルの正味仕事
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- 断熱効率
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- 冷空気標準
- k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)
2演習問題
1.理想気体の状態方程式ふつう
450 kPa、50 °C において、CO₂ 360 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。
m = 360 gM = 44.01 g/molP = 450 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
900 kPa、40 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。
M = 44.01 g/molP = 900 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。
ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 160 → 100 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。
ṁh = 2 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 70 °Ct: 15 → 70 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
熱機関が 800 °C の高温熱源と 20 °C の低温熱源の間で働く。 可能な最大の熱効率 ηmax を求めよ。
TH = 800 °CTL = 20 °C
ηmax = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
冷蔵庫が、25 °C のキッチンで冷蔵室を 5 °C に保ち、冷蔵室から 1.5 kW の熱を取り除く。 必要な最小入力動力 Ẇmin を求めよ。
TH = 25 °CTL = 5 °CQ̇L = 1.5 kW
Ẇmin = kW
7.ガスサイクルふつう
理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 16、締切比は rc = v₃/v₂ = 3 である。 圧縮開始時の空気の温度は 320 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。
r = 16rc = 3T1 = 320 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 8 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 310 K で圧縮機に入り、1100 K でタービンに入る。 圧縮機の断熱効率は 85%、タービンの断熱効率は 92% である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。
rp = 8T1 = 310 KT3 = 1100 Kηc = 85%ηt = 92%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg
3溶液
1.理想気体の状態方程式
答え: V = 48.84 L
理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。
物質量
n = 360/44.01 = 8.18 mol
T = 50 + 273.15 = 323.1 K
体積
V = nRT/P = 8.18·8.314·323.1/450 = 48.84 L
答え
V = 48.84 L
2.理想気体の状態方程式
答え: ρ = 15.21 kg/m³
理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。
状態方程式を変形する
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 40 + 273.15 = 313.1 K
密度
ρ = 900·44.01/(8.314·313.1) = 15.21 kg/m³
答え
ρ = 15.21 kg/m³
3.エネルギー収支
答え: tout = 63.78 °C
熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
高温流体が放出する熱
Q = 2.5·2.44·(160 − 100) = 366 kW
水が受け取る熱
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 366/(2·4.18) = 63.78 °C
答え
tout = 63.78 °C
4.エネルギー収支
答え: ṁc = 1.242 kg/s
損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。
放出熱
Qh = 2·2.1·(150 − 70) = 336 kW
水に届く熱
Qc = (1 − 0.15)·336 = 285.6 kW
水の流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 285.6/(4.18·55) = 1.242 kg/s
答え
ṁc = 1.242 kg/s
5.熱機関と冷凍機
答え: ηmax = 72.68 %
第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。
絶対温度
TH = 800 + 273.15 = 1073 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K
カルノー効率
ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 293.1/1073 = 72.68 %
答え
ηmax = 72.68 %
6.熱機関と冷凍機
答え: Ẇmin = 0.1079 kW
第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。
絶対温度
TH = 25 + 273.15 = 298.1 K
TL = 5 + 273.15 = 278.1 K
可能な最良の COP
COPR,max = TL/(TH − TL) = 278.1/(298.1 − 278.1) = 13.91
最小動力
必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。
Ẇmin = Q̇L/COP = 1.5/13.91 = 0.1079 kW
答え
Ẇmin = 0.1079 kW
7.ガスサイクル
答え: T3 = 2910 K
ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。
圧縮の終わり
T2 = 320·160.4 = 970.1 K
等圧加熱
T3 = rc·T2 = 3·970.1 = 2910 K
答え
T3 = 2910 K
8.ガスサイクル
答え: wnet = 158.2 kJ/kg
ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。
等エントロピー変化後の温度
T2s = 310·80.2857 = 561.5 K
T4s = 1100/80.2857 = 607.2 K
圧縮機仕事とタービン仕事
wc = 1.005·(561.5 − 310)/0.85 = 297.4 kJ/kg
wt = 0.92·1.005·(1100 − 607.2) = 455.6 kJ/kg
正味仕事
wnet = 455.6 − 297.4 = 158.2 kJ/kg
答え
wnet = 158.2 kJ/kg
後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 65.28%。
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