熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
260 g のHeP = 100 kPaT = 45 °CV = ?

100 kPa、45 °C において、He 260 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 260 gM = 4.003 g/molP = 100 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のHeが 350 kPa、2 L、35 °C から 550 kPa、110 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 350 kPaV1 = 2 LT1 = 35 °CP2 = 550 kPaT2 = 110 °C
V2 = L
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側軽油 · 120 °C70 °C水 · 25 °Ct = ? °C

高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側グリコール混合液 · 130 °C70 °C水 · 20 °C75 °C · ṁ = ?損失 5%

高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 3 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 70 °Ct: 20 → 75 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 550 °CTL​ = 30 °CEQH​QL​η = 44%

熱機関が 550 °C の熱源から熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 44% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 550 °CTL = 30 °Cη = 44%
ηII = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 650 °CT0​ = 20 °CTL​ = -25 °CERWQ̇H​ = 130 kWQ̇L​ = ?

カルノー熱機関が 650 °C の熱源から 130 kW の熱を受け取り、20 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -25 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 20 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇L を求めよ。

TH = 650 °CT0 = 20 °CTL = -25 °CQ̇H = 130 kW
Q̇L = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 20、締切比は rc = v₃/v₂ = 1.5 である。 圧縮開始時の空気の温度は 310 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの加熱量 qin を kJ/kg で求めよ。

r = 20rc = 1.5T1 = 310 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

理想ブレイトンサイクルが圧縮機の圧力比 16 で運転されている。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

rp = 16k = 1.4
η = %

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 1718 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 260/4.003 = 64.95 mol
T = 45 + 273.15 = 318.1 K

体積

V = nRT/P = 64.95·8.314·318.1/100 = 1718 L

答え

V = 1718 L
2.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 1.582 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 308.1 K, T2 = 383.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(350/550)·(383.1/308.1) = 1.582 L

答え

V2 = 1.582 L
3.エネルギー収支

答え: tout = 31.28 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 0.5·2.1·(120 − 70) = 52.5 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 52.5/(2·4.18) = 31.28 °C

答え

tout = 31.28 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 2.678 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 3·3.6·(130 − 70) = 648 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.05)·648 = 615.6 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 615.6/(4.18·55) = 2.678 kg/s

答え

ṁc = 2.678 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 69.65 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 550 + 273.15 = 823.1 K
TL = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 303.1/823.1 = 63.17 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 44/63.17 = 69.65 %

答え

ηII = 69.65 %
6.熱機関と冷凍機

答え: Q̇L = 489.2 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 650 + 273.15 = 923.1 K
T0 = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = -25 + 273.15 = 248.1 K

機関の仕事

η = 1 − 293.1/923.1 = 0.6824
Ẇ = 0.6824·130 = 88.72 kW

冷凍機が取り除く熱

COPR = 248.1/(293.1 − 248.1) = 5.514
Q̇L = 5.514·88.72 = 489.2 kW

答え

Q̇L = 489.2 kW
7.ガスサイクル

答え: qin = 516.3 kJ/kg

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

温度

T2 = 310·200.4 = 1027 K
T3 = 1.5·1027 = 1541 K

等圧加熱量

qin = 1.005·(1541 − 1027) = 516.3 kJ/kg

答え

qin = 516.3 kJ/kg
8.ガスサイクル

答え: η = 54.71 %

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

熱効率

η = 1 − 1/160.2857 = 1 − 1/2.208 = 54.71%

答え

η = 54.71%

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