熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
410 g のCO₂V = 20 LT = 15 °CP = ?

容積 20 L のタンクに、温度 15 °C のCO₂が 410 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 410 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のCO₂が 200 kPa、20 L、10 °C から 750 kPa、160 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 200 kPaV1 = 20 LT1 = 10 °CP2 = 750 kPaT2 = 160 °C
V2 = L
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側軽油 · 150 °C100 °C水 · 30 °Ct = ? °C

高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 100 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側グリコール混合液 · 150 °C70 °C水 · 15 °C65 °C · ṁ = ?損失 15%

高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 150 → 70 °Ct: 15 → 65 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 20 °CTL​ = -25 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 7.5 kWẆ

可逆冷凍機が 7.5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -25 °C に保ち、20 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇H を求めよ。

TL = -25 °CTH = 20 °CQ̇L = 7.5 kW
Q̇H = kW
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 850 °CT0​ = 30 °CTL​ = -25 °CERWQ̇H​ = 80 kWQ̇L​ = ?

カルノー熱機関が 850 °C の熱源から 80 kW の熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -25 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 30 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇L を求めよ。

TH = 850 °CT0 = 30 °CTL = -25 °CQ̇H = 80 kW
Q̇L = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 19、締切比は rc = v₃/v₂ = 2.5 である。 圧縮開始時の空気の温度は 320 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。

r = 19rc = 2.5T1 = 320 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 15 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 300 K で圧縮機に入り、1400 K でタービンに入る。 圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 15T1 = 300 KT3 = 1400 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 1116 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 410/44.01 = 9.316 mol
T = 15 + 273.15 = 288.1 K

圧力

P = nRT/V = 9.316·8.314·288.1/0.02 = 1116 kPa

答え

P = 1116 kPa
2.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 8.159 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 283.1 K, T2 = 433.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(200/750)·(433.1/283.1) = 8.159 L

答え

V2 = 8.159 L
3.エネルギー収支

答え: tout = 67.68 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 1.5·2.1·(150 − 100) = 157.5 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 157.5/(1·4.18) = 67.68 °C

答え

tout = 67.68 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 2.343 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 2·3.6·(150 − 70) = 576 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.15)·576 = 489.6 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 489.6/(4.18·50) = 2.343 kg/s

答え

ṁc = 2.343 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: Q̇H = 8.86 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = -25 + 273.15 = 248.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 7.5·293.1/248.1 = 8.86 kW

答え

Q̇H = 8.86 kW

入力動力：Ẇ = 1.36 kW。

6.熱機関と冷凍機

答え: Q̇L = 263.5 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 850 + 273.15 = 1123 K
T0 = 30 + 273.15 = 303.1 K
TL = -25 + 273.15 = 248.1 K

機関の仕事

η = 1 − 303.1/1123 = 0.7301
Ẇ = 0.7301·80 = 58.41 kW

冷凍機が取り除く熱

COPR = 248.1/(303.1 − 248.1) = 4.512
Q̇L = 4.512·58.41 = 263.5 kW

答え

Q̇L = 263.5 kW
7.ガスサイクル

答え: T3 = 2598 K

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

圧縮の終わり

T2 = 320·190.4 = 1039 K

等圧加熱

T3 = rc·T2 = 2.5·1039 = 2598 K

答え

T3 = 2598 K
8.ガスサイクル

答え: wnet = 405.9 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2 = 300·150.2857 = 650.4 K
T4 = 1400/150.2857 = 645.8 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(650.4 − 300) = 352.1 kJ/kg
wt = 1.005·(1400 − 645.8) = 758 kJ/kg

正味仕事

wnet = 758 − 352.1 = 405.9 kJ/kg

答え

wnet = 405.9 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 46.45%。

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