熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
440 g のHeV = 50 LT = 80 °CP = ?

容積 50 L のタンクに、温度 80 °C のHeが 440 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 440 gM = 4.003 g/molV = 50 LT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のN₂が 350 kPa、2 L、25 °C から 200 kPa、50 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 350 kPaV1 = 2 LT1 = 25 °CP2 = 200 kPaT2 = 50 °C
V2 = L
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側エタノール · 170 °C70 °C水 · 25 °Ct = ? °C

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 170 → 70 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側軽油 · 120 °C80 °C水 · 15 °C40 °C · ṁ = ?損失 15%

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 80 °Ct: 15 → 40 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 400 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​η = 31%

熱機関が 400 °C の熱源から熱を受け取り、15 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 31% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 400 °CTL = 15 °Cη = 31%
ηII = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
950 °CTm​ = ?30 °CABWA​WB​

2 つのカルノー機関が直列に働く。機関 A は 950 °C の熱源から熱を受け取り、温度 Tm の中間熱源へ熱を放出する。機関 B はその熱をすべて受け取り、30 °C の熱源へ熱を放出する。 両方の機関の仕事は等しい。Tm を °C で求めよ。

TH = 950 °CTL = 30 °C
Tm = °C
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 20、締切比は rc = v₃/v₂ = 2 である。 圧縮開始時の空気の温度は 310 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの加熱量 qin を kJ/kg で求めよ。

r = 20rc = 2T1 = 310 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 12 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 290 K で圧縮機に入り、1100 K でタービンに入る。 圧縮機の断熱効率は 85%、タービンの断熱効率は 88% である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 12T1 = 290 KT3 = 1100 Kηc = 85%ηt = 88%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 6455 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 440/4.003 = 109.9 mol
T = 80 + 273.15 = 353.1 K

圧力

P = nRT/V = 109.9·8.314·353.1/0.05 = 6455 kPa

答え

P = 6455 kPa
2.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 3.793 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 298.1 K, T2 = 323.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(350/200)·(323.1/298.1) = 3.793 L

答え

V2 = 3.793 L
3.エネルギー収支

答え: tout = 141.7 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 1·2.44·(170 − 70) = 244 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 244/(0.5·4.18) = 141.7 °C

答え

tout = 141.7 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 2.05 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 3·2.1·(120 − 80) = 252 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.15)·252 = 214.2 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 214.2/(4.18·25) = 2.05 kg/s

答え

ṁc = 2.05 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 54.2 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 400 + 273.15 = 673.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 288.1/673.1 = 57.19 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 31/57.19 = 54.2 %

答え

ηII = 54.2 %
6.熱機関と冷凍機

答え: Tm = 490 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 950 + 273.15 = 1223 K
TL = 30 + 273.15 = 303.1 K

仕事が等しい

W = Q·(1 − Tlow/Thigh) で、Q/T はどの熱源でも同じなので、W は温度降下に比例します。

Tm = (1223 + 303.1)/2 = 763.2 K = 490 °C

答え

Tm = 490 °C
7.ガスサイクル

答え: qin = 1033 kJ/kg

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

温度

T2 = 310·200.4 = 1027 K
T3 = 2·1027 = 2055 K

等圧加熱量

qin = 1.005·(2055 − 1027) = 1033 kJ/kg

答え

qin = 1033 kJ/kg
8.ガスサイクル

答え: wnet = 140 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2s = 290·120.2857 = 589.8 K
T4s = 1100/120.2857 = 540.8 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(589.8 − 290)/0.85 = 354.5 kJ/kg
wt = 0.88·1.005·(1100 − 540.8) = 494.5 kJ/kg

正味仕事

wnet = 494.5 − 354.5 = 140 kJ/kg

答え

wnet = 140 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 71.69%。

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