熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
400 g のO₂V = 50 LT = 40 °CP = ?

容積 50 L のタンクに、温度 40 °C のO₂が 400 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 400 gM = 32 g/molV = 50 LT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
Ar, M = 39.95 g/molP = 450 kPaT = 20 °Cρ = ?

450 kPa、20 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 450 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側軽油 · 160 °C110 °C水 · 10 °Ct = ? °C

高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 110 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側エタノール · 180 °C60 °C水 · 10 °C45 °C · ṁ = ?損失 5%

高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 180 → 60 °Ct: 10 → 45 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 25 °CTL​ = -20 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 7 kWẆ

可逆冷凍機が 7 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -20 °C に保ち、25 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇H を求めよ。

TL = -20 °CTH = 25 °CQ̇L = 7 kW
Q̇H = kW
6.熱機関と冷凍機むずかしい
850 °CTm​ = ?15 °CABWA​WB​

2 つのカルノー機関が直列に働く。機関 A は 850 °C の熱源から熱を受け取り、温度 Tm の中間熱源へ熱を放出する。機関 B はその熱をすべて受け取り、15 °C の熱源へ熱を放出する。 両方の機関の熱効率は等しい。Tm を °C で求めよ。

TH = 850 °CTL = 15 °C
Tm = °C
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 14、締切比は rc = v₃/v₂ = 2 である。 圧縮開始時の空気の温度は 305 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの加熱量 qin を kJ/kg で求めよ。

r = 14rc = 2T1 = 305 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

理想ブレイトンサイクルが圧縮機の圧力比 20 で運転されている。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

rp = 20k = 1.4
η = %

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 650.9 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 400/32 = 12.5 mol
T = 40 + 273.15 = 313.1 K

圧力

P = nRT/V = 12.5·8.314·313.1/0.05 = 650.9 kPa

答え

P = 650.9 kPa
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 7.376 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 450·39.95/(8.314·293.1) = 7.376 kg/m³

答え

ρ = 7.376 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 16.28 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 0.5·2.1·(160 − 110) = 52.5 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 52.5/(2·4.18) = 16.28 °C

答え

tout = 16.28 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 4.753 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 2.5·2.44·(180 − 60) = 732 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.05)·732 = 695.4 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 695.4/(4.18·35) = 4.753 kg/s

答え

ṁc = 4.753 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: Q̇H = 8.244 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 25 + 273.15 = 298.1 K
TL = -20 + 273.15 = 253.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 7·298.1/253.1 = 8.244 kW

答え

Q̇H = 8.244 kW

入力動力：Ẇ = 1.244 kW。

6.熱機関と冷凍機

答え: Tm = 295.7 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 850 + 273.15 = 1123 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

効率が等しい

1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm より Tm² = TH·TL。

Tm = √(1123·288.1) = 568.9 K = 295.7 °C

答え

Tm = 295.7 °C
7.ガスサイクル

答え: qin = 880.9 kJ/kg

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

温度

T2 = 305·140.4 = 876.5 K
T3 = 2·876.5 = 1753 K

等圧加熱量

qin = 1.005·(1753 − 876.5) = 880.9 kJ/kg

答え

qin = 880.9 kJ/kg
8.ガスサイクル

答え: η = 57.51 %

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

熱効率

η = 1 − 1/200.2857 = 1 − 1/2.354 = 57.51%

答え

η = 57.51%

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