熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜熱: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）: T₂/T₁ = r^k−1
等エントロピー変化（圧力比）: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
オットーサイクルの効率: η = 1 − 1/r^k−1
ディーゼルサイクルの効率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ブレイトンサイクルの効率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
加熱量: オットー：c_v(T₃ − T₂) ディーゼル、ブレイトン：c_p(T₃ − T₂)
ブレイトンサイクルの正味仕事: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
断熱効率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空気標準: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 50 °C のArが 400 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 400 gM = 39.95 g/molV = 5 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のO₂が 300 kPa、10 L、40 °C から 200 kPa、150 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 300 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 200 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

3.エネルギー収支ふつう

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 t_out を求めよ。

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 140 °Cṁ_c = 0.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.エネルギー収支むずかしい

高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁ_c を求めよ。

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 120 °Ct: 25 → 60 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 7 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -5 °C に保ち、30 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -5 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 7 kW

Q̇_H = kW

6.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 -10 °C のときに家を 20 °C に保ち、家に 6 kW の熱を供給する。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 20 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 6 kW

Ẇ_min = kW

7.ガスサイクルふつう

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 22、締切比は r_c = v₃/v₂ = 1.8 である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

r = 22r_c = 1.8k = 1.4

η = %

8.ガスサイクルむずかしい

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 10 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 290 K で圧縮機に入り、1100 K でタービンに入る。圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの正味仕事 w_net を kJ/kg で求めよ。

r_p = 10T₁ = 290 KT₃ = 1100 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 5380 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 400/39.95 = 10.01 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

圧力

P = nRT/V = 10.01·8.314·323.1/0.005 = 5380 kPa

答え

P = 5380 kPa

2.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 20.27 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 423.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(300/200)·(423.1/313.1) = 20.27 L

答え

V₂ = 20.27 L

3.エネルギー収支

答え: t_out = 37.51 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

高温流体が放出する熱

Q = 0.5·2.44·(170 − 140) = 36.6 kW

水が受け取る熱

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 36.6/(0.5·4.18) = 37.51 °C

答え

t_out = 37.51 °C

4.エネルギー収支

答え: ṁ_c = 0.3961 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Q_h = 0.5·2.44·(170 − 120) = 61 kW

水に届く熱

Q_c = (1 − 0.05)·61 = 57.95 kW

水の流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 57.95/(4.18·35) = 0.3961 kg/s

答え

ṁ_c = 0.3961 kg/s

5.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 7.914 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 7·303.1/268.1 = 7.914 kW

答え

Q̇_H = 7.914 kW

入力動力：Ẇ = 0.9137 kW。

6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.614 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 263.1) = 9.772

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 6/9.772 = 0.614 kW

答え

Ẇ_min = 0.614 kW

7.ガスサイクル

答え: η = 66.88 %

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 r_c = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·r^k−1、T₃ = r_c·T₂、q_in = c_p·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)) です。

締切比の項

(1.8^1.4 − 1)/(1.4·(1.8 − 1)) = 1.14

熱効率

η = 1 − 0.2904·1.14 = 66.88%

答え

η = 66.88%

8.ガスサイクル

答え: w_net = 261.7 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 r_p = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k、T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k、η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k です。正味仕事 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には w_s/η_c が必要で、タービンは η_t·w_s を出します。

等エントロピー変化後の温度

T₂ = 290·10^0.2857 = 559.9 K

T₄ = 1100/10^0.2857 = 569.7 K

圧縮機仕事とタービン仕事

w_c = 1.005·(559.9 − 290) = 271.3 kJ/kg

w_t = 1.005·(1100 − 569.7) = 532.9 kJ/kg

正味仕事

w_net = 532.9 − 271.3 = 261.7 kJ/kg

答え

w_net = 261.7 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：w_c/w_t = 50.9%。

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