理想気体の状態方程式
- 理想気体の状態方程式
- pV = nRT
- 気体定数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- ボイル・シャルルの法則
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物質量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
熱力学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
エネルギー収支
- 顕熱
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜熱
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
熱機関と冷凍機
- 効率
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- カルノー効率
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- 冷凍機の COP
- COPR = QC/W
- ヒートポンプの COP
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- エネルギー収支
- QH = W + QC
ガスサイクル
- 等エントロピー変化（体積比）
- T2/T1 = rk−1
- 等エントロピー変化（圧力比）
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- オットーサイクルの効率
- η = 1 − 1/rk−1
- ディーゼルサイクルの効率
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- ブレイトンサイクルの効率
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- 加熱量
- オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
- ブレイトンサイクルの正味仕事
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- 断熱効率
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- 冷空気標準
- k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)
2演習問題
1.理想気体の状態方程式ふつう
容積 30 L のタンクに、温度 75 °C のArが 140 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。
m = 140 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
一定量のO₂が 400 kPa、5 L、30 °C から 400 kPa、70 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。
P1 = 400 kPaV1 = 5 LT1 = 30 °CP2 = 400 kPaT2 = 70 °C
V2 = L
3.エネルギー収支ふつう
高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 130 → 100 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。
ṁh = 3 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 160 → 110 °Ct: 20 → 70 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
熱機関が 225 °C の高温熱源と 40 °C の低温熱源の間で働く。 可能な最大の熱効率 ηmax を求めよ。
TH = 225 °CTL = 40 °C
ηmax = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
ヒートポンプが、外気 -5 °C のときに家を 21 °C に保ち、家に 10 kW の熱を供給する。 可能な最大の成績係数 COPmax を求めよ。
TH = 21 °CTL = -5 °CQ̇H = 10 kW
COPmax =
7.ガスサイクルふつう
理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 16、締切比は rc = v₃/v₂ = 1.8 である。 圧縮開始時の空気の温度は 290 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。
r = 16rc = 1.8T1 = 290 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 20 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 300 K で圧縮機に入り、1500 K でタービンに入る。 圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。
rp = 20T1 = 300 KT3 = 1500 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg
3溶液
1.理想気体の状態方程式
答え: P = 338.1 kPa
理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。
物質量
n = m/M = 140/39.95 = 3.504 mol
T = 75 + 273.15 = 348.1 K
圧力
P = nRT/V = 3.504·8.314·348.1/0.03 = 338.1 kPa
答え
P = 338.1 kPa
2.理想気体の状態方程式
答え: V2 = 5.66 L
ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。
絶対温度
T1 = 303.1 K, T2 = 343.1 K
ボイル・シャルルの法則
V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(400/400)·(343.1/303.1) = 5.66 L
答え
V2 = 5.66 L
3.エネルギー収支
答え: tout = 27.51 °C
熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
高温流体が放出する熱
Q = 0.5·2.44·(130 − 100) = 36.6 kW
水が受け取る熱
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 36.6/(0.5·4.18) = 27.51 °C
答え
tout = 27.51 °C
4.エネルギー収支
答え: ṁc = 1.489 kg/s
損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。
放出熱
Qh = 3·2.44·(160 − 110) = 366 kW
水に届く熱
Qc = (1 − 0.15)·366 = 311.1 kW
水の流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 311.1/(4.18·50) = 1.489 kg/s
答え
ṁc = 1.489 kg/s
5.熱機関と冷凍機
答え: ηmax = 37.14 %
第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。
絶対温度
TH = 225 + 273.15 = 498.1 K
TL = 40 + 273.15 = 313.1 K
カルノー効率
ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 313.1/498.1 = 37.14 %
答え
ηmax = 37.14 %
6.熱機関と冷凍機
答え: COPmax = 11.31
第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。
絶対温度
TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = -5 + 273.15 = 268.1 K
可能な最良の COP
COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294.1/(294.1 − 268.1) = 11.31
答え
COPmax = 11.31
7.ガスサイクル
答え: T3 = 1582 K
ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。
圧縮の終わり
T2 = 290·160.4 = 879.1 K
等圧加熱
T3 = rc·T2 = 1.8·879.1 = 1582 K
答え
T3 = 1582 K
8.ガスサイクル
答え: wnet = 458.9 kJ/kg
ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。
等エントロピー変化後の温度
T2 = 300·200.2857 = 706.1 K
T4 = 1500/200.2857 = 637.3 K
圧縮機仕事とタービン仕事
wc = 1.005·(706.1 − 300) = 408.1 kJ/kg
wt = 1.005·(1500 − 637.3) = 867 kJ/kg
正味仕事
wnet = 867 − 408.1 = 458.9 kJ/kg
答え
wnet = 458.9 kJ/kg
後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 47.07%。
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