熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
30 g のCO₂P = 200 kPaT = 45 °CV = ?

200 kPa、45 °C において、CO₂ 30 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 30 gM = 44.01 g/molP = 200 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のO₂が 200 kPa、20 L、30 °C から 750 kPa、180 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 200 kPaV1 = 20 LT1 = 30 °CP2 = 750 kPaT2 = 180 °C
V2 = L
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側軽油 · 160 °C80 °C水 · 30 °Ct = ? °C

高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 80 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側グリコール混合液 · 150 °C100 °C水 · 15 °C45 °C · ṁ = ?損失 5%

高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 150 → 100 °Ct: 15 → 45 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 250 °CTL​ = 20 °CEQH​QL​W

熱機関が 250 °C の高温熱源と 20 °C の低温熱源の間で働く。 可能な最大の熱効率 ηmax を求めよ。

TH = 250 °CTL = 20 °C
ηmax = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 35 °CTL​ = -20 °CRQ̇H​Q̇L​ = 4.5 kWẆ = ?

冷蔵庫が、35 °C のキッチンで冷蔵室を -20 °C に保ち、冷蔵室から 4.5 kW の熱を取り除く。 必要な最小入力動力 Ẇmin を求めよ。

TH = 35 °CTL = -20 °CQ̇L = 4.5 kW
Ẇmin = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 15、締切比は rc = v₃/v₂ = 2.5 である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

r = 15rc = 2.5k = 1.4
η = %
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 15 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 290 K で圧縮機に入り、1400 K でタービンに入る。 圧縮機の断熱効率は 88%、タービンの断熱効率は 92% である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 15T1 = 290 KT3 = 1400 Kηc = 88%ηt = 92%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 9.015 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 30/44.01 = 0.6817 mol
T = 45 + 273.15 = 318.1 K

体積

V = nRT/P = 0.6817·8.314·318.1/200 = 9.015 L

答え

V = 9.015 L
2.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 7.972 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 303.1 K, T2 = 453.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(200/750)·(453.1/303.1) = 7.972 L

答え

V2 = 7.972 L
3.エネルギー収支

答え: tout = 43.4 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 1·2.1·(160 − 80) = 168 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 168/(3·4.18) = 43.4 °C

答え

tout = 43.4 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 0.6818 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 0.5·3.6·(150 − 100) = 90 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.05)·90 = 85.5 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 85.5/(4.18·30) = 0.6818 kg/s

答え

ṁc = 0.6818 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: ηmax = 43.96 %

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 250 + 273.15 = 523.1 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K

カルノー効率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 293.1/523.1 = 43.96 %

答え

ηmax = 43.96 %
6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇmin = 0.9777 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 35 + 273.15 = 308.1 K
TL = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能な最良の COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 253.1/(308.1 − 253.1) = 4.603

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇmin = Q̇L/COP = 4.5/4.603 = 0.9777 kW

答え

Ẇmin = 0.9777 kW
7.ガスサイクル

答え: η = 57.98 %

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

締切比の項

(2.51.4 − 1)/(1.4·(2.5 − 1)) = 1.241

熱効率

η = 1 − 0.3385·1.241 = 57.98%

答え

η = 57.98%
8.ガスサイクル

答え: wnet = 310.5 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2s = 290·150.2857 = 628.7 K
T4s = 1400/150.2857 = 645.8 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(628.7 − 290)/0.88 = 386.8 kJ/kg
wt = 0.92·1.005·(1400 − 645.8) = 697.3 kJ/kg

正味仕事

wnet = 697.3 − 386.8 = 310.5 kJ/kg

答え

wnet = 310.5 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 55.47%。

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