熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
320 g のHeP = 700 kPaT = 55 °CV = ?

700 kPa、55 °C において、He 320 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 320 gM = 4.003 g/molP = 700 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のArが 400 kPa、2 L、25 °C から 750 kPa、250 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 400 kPaV1 = 2 LT1 = 25 °CP2 = 750 kPaT2 = 250 °C
V2 = L
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側グリコール混合液 · 130 °C90 °C水 · 10 °Ct = ? °C

高温のグリコール混合液が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 90 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側グリコール混合液 · 130 °C90 °C水 · 20 °C90 °C · ṁ = ?損失 5%

高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 90 °Ct: 20 → 90 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 900 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​η = 41%

熱機関が 900 °C の熱源から熱を受け取り、15 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 41% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 900 °CTL = 15 °Cη = 41%
ηII = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 600 °CT0​ = 27 °CTL​ = -15 °CERWQ̇H​ = 130 kWQ̇L​ = ?

カルノー熱機関が 600 °C の熱源から 130 kW の熱を受け取り、27 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -15 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 27 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇L を求めよ。

TH = 600 °CT0 = 27 °CTL = -15 °CQ̇H = 130 kW
Q̇L = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 18、締切比は rc = v₃/v₂ = 1.8 である。 圧縮開始時の空気の温度は 305 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの加熱量 qin を kJ/kg で求めよ。

r = 18rc = 1.8T1 = 305 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 6 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 310 K で圧縮機に入り、1400 K でタービンに入る。 圧縮機の断熱効率は 85%、タービンの断熱効率は 85% である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 6T1 = 310 KT3 = 1400 Kηc = 85%ηt = 85%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 311.6 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 320/4.003 = 79.94 mol
T = 55 + 273.15 = 328.1 K

体積

V = nRT/P = 79.94·8.314·328.1/700 = 311.6 L

答え

V = 311.6 L
2.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 1.872 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 298.1 K, T2 = 523.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(400/750)·(523.1/298.1) = 1.872 L

答え

V2 = 1.872 L
3.エネルギー収支

答え: tout = 15.74 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 0.5·3.6·(130 − 90) = 72 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 72/(3·4.18) = 15.74 °C

答え

tout = 15.74 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 1.169 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 2.5·3.6·(130 − 90) = 360 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.05)·360 = 342 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 342/(4.18·70) = 1.169 kg/s

答え

ṁc = 1.169 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 54.35 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 900 + 273.15 = 1173 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 288.1/1173 = 75.44 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 41/75.44 = 54.35 %

答え

ηII = 54.35 %
6.熱機関と冷凍機

答え: Q̇L = 524.4 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 600 + 273.15 = 873.1 K
T0 = 27 + 273.15 = 300.1 K
TL = -15 + 273.15 = 258.1 K

機関の仕事

η = 1 − 300.1/873.1 = 0.6562
Ẇ = 0.6562·130 = 85.31 kW

冷凍機が取り除く熱

COPR = 258.1/(300.1 − 258.1) = 6.146
Q̇L = 6.146·85.31 = 524.4 kW

答え

Q̇L = 524.4 kW
7.ガスサイクル

答え: qin = 779.2 kJ/kg

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

温度

T2 = 305·180.4 = 969.2 K
T3 = 1.8·969.2 = 1745 K

等圧加熱量

qin = 1.005·(1745 − 969.2) = 779.2 kJ/kg

答え

qin = 779.2 kJ/kg
8.ガスサイクル

答え: wnet = 234.1 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2s = 310·60.2857 = 517.2 K
T4s = 1400/60.2857 = 839.1 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(517.2 − 310)/0.85 = 245 kJ/kg
wt = 0.85·1.005·(1400 − 839.1) = 479.2 kJ/kg

正味仕事

wnet = 479.2 − 245 = 234.1 kJ/kg

答え

wnet = 234.1 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 51.14%。

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