理想気体の状態方程式
- 理想気体の状態方程式
- pV = nRT
- 気体定数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- ボイル・シャルルの法則
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物質量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
熱力学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
エネルギー収支
- 顕熱
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜熱
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
熱機関と冷凍機
- 効率
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- カルノー効率
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- 冷凍機の COP
- COPR = QC/W
- ヒートポンプの COP
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- エネルギー収支
- QH = W + QC
ガスサイクル
- 等エントロピー変化（体積比）
- T2/T1 = rk−1
- 等エントロピー変化（圧力比）
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- オットーサイクルの効率
- η = 1 − 1/rk−1
- ディーゼルサイクルの効率
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- ブレイトンサイクルの効率
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- 加熱量
- オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
- ブレイトンサイクルの正味仕事
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- 断熱効率
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- 冷空気標準
- k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)
2演習問題
1.理想気体の状態方程式ふつう
容積 5 L のタンクに、温度 60 °C のCO₂が 260 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。
m = 260 gM = 44.01 g/molV = 5 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
一定量のArが 250 kPa、5 L、10 °C から 550 kPa、230 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。
P1 = 250 kPaV1 = 5 LT1 = 10 °CP2 = 550 kPaT2 = 230 °C
V2 = L
3.エネルギー収支ふつう
高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。
ṁh = 1 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 100 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。
ṁh = 3 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 150 °Ct: 20 → 55 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
熱機関が 675 °C の高温熱源と 15 °C の低温熱源の間で働く。 この機関は 2200 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 Wmax を求めよ。
TH = 675 °CTL = 15 °CQH = 2200 kJ
Wmax = kJ
6.熱機関と冷凍機むずかしい
ヒートポンプが、外気 0 °C のときに家を 21 °C に保ち、家に 10 kW の熱を供給する。 可能な最大の成績係数 COPmax を求めよ。
TH = 21 °CTL = 0 °CQ̇H = 10 kW
COPmax =
7.ガスサイクルふつう
理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 22、締切比は rc = v₃/v₂ = 1.8 である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。
r = 22rc = 1.8k = 1.4
η = %
8.ガスサイクルむずかしい
理想ブレイトンサイクルが圧縮機の圧力比 16 で運転されている。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。
rp = 16k = 1.4
η = %
3溶液
1.理想気体の状態方程式
答え: P = 3273 kPa
理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。
物質量
n = m/M = 260/44.01 = 5.908 mol
T = 60 + 273.15 = 333.1 K
圧力
P = nRT/V = 5.908·8.314·333.1/0.005 = 3273 kPa
答え
P = 3273 kPa
2.理想気体の状態方程式
答え: V2 = 4.039 L
ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。
絶対温度
T1 = 283.1 K, T2 = 503.1 K
ボイル・シャルルの法則
V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(250/550)·(503.1/283.1) = 4.039 L
答え
V2 = 4.039 L
3.エネルギー収支
答え: tout = 83.37 °C
熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
高温流体が放出する熱
Q = 1·2.44·(150 − 100) = 122 kW
水が受け取る熱
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 122/(0.5·4.18) = 83.37 °C
答え
tout = 83.37 °C
4.エネルギー収支
答え: ṁc = 1.098 kg/s
損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。
放出熱
Qh = 3·2.1·(180 − 150) = 189 kW
水に届く熱
Qc = (1 − 0.15)·189 = 160.7 kW
水の流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 160.7/(4.18·35) = 1.098 kg/s
答え
ṁc = 1.098 kg/s
5.熱機関と冷凍機
答え: Wmax = 1531 kJ
第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。
絶対温度
TH = 675 + 273.15 = 948.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K
カルノー効率
ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288.1/948.1 = 69.61 %
最大仕事
Wmax = ηmax·QH = 0.6961·2200 = 1531 kJ
答え
Wmax = 1531 kJ
6.熱機関と冷凍機
答え: COPmax = 14.01
第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。
絶対温度
TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = 0 + 273.15 = 273.1 K
可能な最良の COP
COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294.1/(294.1 − 273.1) = 14.01
答え
COPmax = 14.01
7.ガスサイクル
答え: η = 66.88 %
ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。
締切比の項
(1.81.4 − 1)/(1.4·(1.8 − 1)) = 1.14
熱効率
η = 1 − 0.2904·1.14 = 66.88%
答え
η = 66.88%
8.ガスサイクル
答え: η = 54.71 %
ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。
熱効率
η = 1 − 1/160.2857 = 1 − 1/2.208 = 54.71%
答え
η = 54.71%
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