熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜熱: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）: T₂/T₁ = r^k−1
等エントロピー変化（圧力比）: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
オットーサイクルの効率: η = 1 − 1/r^k−1
ディーゼルサイクルの効率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ブレイトンサイクルの効率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
加熱量: オットー：c_v(T₃ − T₂) ディーゼル、ブレイトン：c_p(T₃ − T₂)
ブレイトンサイクルの正味仕事: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
断熱効率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空気標準: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう

容積 30 L のタンクに、温度 10 °C のO₂が 400 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 400 gM = 32 g/molV = 30 LT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.理想気体の状態方程式むずかしい

550 kPa、50 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 550 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.エネルギー収支ふつう

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 t_out を求めよ。

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 110 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.エネルギー収支むずかしい

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 10% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁ_c を求めよ。

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 150 °Ct: 15 → 75 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 300 °C の高温熱源と 30 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1800 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 300 °CT_L = 30 °CQ_H = 1800 kJ

W_max = kJ

6.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 450 °C の熱源から 180 kW の熱を受け取り、20 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -20 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 20 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 450 °CT₀ = 20 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 180 kW

Q̇_L = kW

7.ガスサイクルふつう

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 22、締切比は r_c = v₃/v₂ = 2.5 である。圧縮開始時の空気の温度は 320 K である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの加熱量 q_in を kJ/kg で求めよ。

r = 22r_c = 2.5T₁ = 320 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.ガスサイクルむずかしい

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 12 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 300 K で圧縮機に入り、1200 K でタービンに入る。圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの正味仕事 w_net を kJ/kg で求めよ。

r_p = 12T₁ = 300 KT₃ = 1200 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 980.9 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 400/32 = 12.5 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

圧力

P = nRT/V = 12.5·8.314·283.1/0.03 = 980.9 kPa

答え

P = 980.9 kPa

2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 9.009 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

密度

ρ = 550·44.01/(8.314·323.1) = 9.009 kg/m³

答え

ρ = 9.009 kg/m³

3.エネルギー収支

答え: t_out = 35.84 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

高温流体が放出する熱

Q = 0.5·2.44·(150 − 110) = 48.8 kW

水が受け取る熱

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 48.8/(2·4.18) = 35.84 °C

答え

t_out = 35.84 °C

4.エネルギー収支

答え: ṁ_c = 0.6782 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Q_h = 3·2.1·(180 − 150) = 189 kW

水に届く熱

Q_c = (1 − 0.1)·189 = 170.1 kW

水の流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 170.1/(4.18·60) = 0.6782 kg/s

答え

ṁ_c = 0.6782 kg/s

5.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 847.9 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/573.1 = 47.11 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.4711·1800 = 847.9 kJ

答え

W_max = 847.9 kJ

6.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 677.4 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

機関の仕事

η = 1 − 293.1/723.1 = 0.5946

Ẇ = 0.5946·180 = 107 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 253.1/(293.1 − 253.1) = 6.329

Q̇_L = 6.329·107 = 677.4 kW

答え

Q̇_L = 677.4 kW

7.ガスサイクル

答え: q_in = 1661 kJ/kg

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 r_c = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·r^k−1、T₃ = r_c·T₂、q_in = c_p·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)) です。

温度

T₂ = 320·22^0.4 = 1102 K

T₃ = 2.5·1102 = 2755 K

等圧加熱量

q_in = 1.005·(2755 − 1102) = 1661 kJ/kg

答え

q_in = 1661 kJ/kg

8.ガスサイクル

答え: w_net = 301.3 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 r_p = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k、T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k、η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k です。正味仕事 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には w_s/η_c が必要で、タービンは η_t·w_s を出します。

等エントロピー変化後の温度

T₂ = 300·12^0.2857 = 610.2 K

T₄ = 1200/12^0.2857 = 590 K

圧縮機仕事とタービン仕事

w_c = 1.005·(610.2 − 300) = 311.7 kJ/kg

w_t = 1.005·(1200 − 590) = 613.1 kJ/kg

正味仕事

w_net = 613.1 − 311.7 = 301.3 kJ/kg

答え

w_net = 301.3 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：w_c/w_t = 50.85%。

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