ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
k = 120 N/m のばねにつけた質量 1.7 kg のおもりを正の向きに 8 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.95 s でのつり合いの位置からの変位 x を符号をつけて求めよ。
m = 1.7 kgk = 120 N/mA = 8 cmt = 0.95 s
x = cm
2.ばねと振り子むずかしい
k = 30 N/m のばねにつけた質量 0.7 kg の物体を、つり合いの位置から 4 cm 引いて静かに放す。 最大の加速度 amax を求めよ。
m = 0.7 kgk = 30 N/mA = 4 cm
amax = m/s²
3.波・音・光学ふつう
小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 2 m の距離でのレベルは 100 dB です。吸収と反射を無視して、16 m の距離でのレベル β2 を求めてください。
β1 = 100 dBr1 = 2 mr2 = 16 m
β2 = dB
4.波・音・光学むずかしい
光ファイバーのコアは n₁ = 1.55、クラッドは n₂ = 1.5 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θa を求めてください。
n1 = 1.55n2 = 1.5n0 = 1.00
θa = °
3溶液
1.ばねと振り子
答え: x = −1.018 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角周波数
ω = √(120/1.7) = 8.402 rad/s
ω·t = 8.402·0.95 = 7.982 rad
変位
x = A·cos(ω·t) = 8·cos(7.982) = −1.018 cm
答え
x = −1.018 cm
2.ばねと振り子
答え: amax = 1.714 m/s²
単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。
角周波数
ω = √(30/0.7) = 6.547 rad/s
最大の加速度
amax = A·ω² = 0.04·6.547² = 1.714 m/s²
答え
amax = 1.714 m/s²
3.波・音・光学
答え: β2 = 81.94 dB
波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。
強さの比
I₂/I₁ = (2/16)² = 0.01563
新しいレベル
β₂ = 100 + 10·log₁₀(0.01563) = 81.94 dB
答え
β2 = 81.94 dB
距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。
4.波・音・光学
答え: θa = 22.99 °
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
クラッドでの臨界角
sin θc = 1.5/1.55 = 0.9677 → θc = 75.41°
開口数
NA = √(1.55² − 1.5²) = 0.3905
受光角
θa = arcsin(0.3905) = 22.99°
答え
θa = 22.99°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics