ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
周期が 2 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。
T = 2 sg = 9.81 m/s²
L = m
2.ばねと振り子むずかしい
250 m/s で動く質量 8 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 1 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 1500 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。
m = 8 gv = 250 m/sM = 1 kgk = 1500 N/m
A = cm
3.波・音・光学ふつう
小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 5 m の距離でのレベルは 70 dB です。吸収と反射を無視して、15 m の距離でのレベル β2 を求めてください。
β1 = 70 dBr1 = 5 mr2 = 15 m
β2 = dB
4.波・音・光学むずかしい
波長 500 nm の光が、幅 0.05 mm の単スリットを通ります。1 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。
λ = 500 nma = 0.05 mmL = 1 m
w = mm
3溶液
1.ばねと振り子
答え: L = 0.994 m
単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。
長さを求める
L = g·(T/2π)² = 9.81·(2/2π)² = 0.994 m
答え
L = 0.994 m
2.ばねと振り子
答え: A = 5.143 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
衝突後の速さ
V = m·v/(m + M) = 0.008·250/1.008 = 1.984 m/s
角周波数
ω = √(k/(m + M)) = √(1500/1.008) = 38.58 rad/s
振幅
A = V/ω = 1.984/38.58 = 0.05143 m = 5.143 cm
答え
A = 5.143 cm
3.波・音・光学
答え: β2 = 60.46 dB
波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。
強さの比
I₂/I₁ = (5/15)² = 0.1111
新しいレベル
β₂ = 70 + 10·log₁₀(0.1111) = 60.46 dB
答え
β2 = 60.46 dB
距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。
4.波・音・光学
答え: w = 20 mm
干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。
最初の暗線
y₁ = λL/a = 500 × 10⁻⁹·1/(0.05 × 10⁻³) = 10 mm
中央の極大の幅
w = 2y₁ = 20 mm
答え
w = 20 mm
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