ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1.6 m の単振り子の小さな振れの周期が 2.37 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。
L = 1.6 mT = 2.37 s
g = m/s²
2.ばねと振り子むずかしい
k = 260 N/m のばねにつけた質量 0.6 kg の物体を、つり合いの位置から 7 cm 引いて静かに放す。 最大の速さ vmax を求めよ。
m = 0.6 kgk = 260 N/mA = 7 cm
vmax = m/s
3.波・音・光学ふつう
小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 1 m の距離でのレベルは 100 dB です。吸収と反射を無視して、3 m の距離でのレベル β2 を求めてください。
β1 = 100 dBr1 = 1 mr2 = 3 m
β2 = dB
4.波・音・光学むずかしい
2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 60 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 10 cm、レンズ 2 は f₂ = −15 cm です。物体はレンズ 1 の 15 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 di2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。
f1 = 10 cmf2 = −15 cms = 60 cmdo = 15 cm
di2 = cm
3溶液
1.ばねと振り子
答え: g = 11.25 m/s²
単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。
g について解く
g = 4π²·L/T² = 4π²·1.6/2.37² = 11.25 m/s²
答え
g = 11.25 m/s²
2.ばねと振り子
答え: vmax = 1.457 m/s
単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。
角周波数
ω = √(260/0.6) = 20.82 rad/s
最大の速さ
vmax = A·ω = 0.07·20.82 = 1.457 m/s
答え
vmax = 1.457 m/s
3.波・音・光学
答え: β2 = 90.46 dB
波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。
強さの比
I₂/I₁ = (1/3)² = 0.1111
新しいレベル
β₂ = 100 + 10·log₁₀(0.1111) = 90.46 dB
答え
β2 = 90.46 dB
距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。
4.波・音・光学
答え: di2 = −10 cm
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
レンズ 1 による像
1/di1 = 1/10 − 1/15 → di1 = 30 cm
レンズ 2 の物体
do2 = 60 − 30 = 30 cm
最終的な像
1/di2 = 1/(−15) − 1/30 → di2 = −10 cm
答え
di2 = −10 cm
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