ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
k = 110 N/m のばねにつけた質量 3.3 kg のおもりを正の向きに 14 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.6 s でのつり合いの位置からの変位 x を符号をつけて求めよ。
m = 3.3 kgk = 110 N/mA = 14 cmt = 0.6 s
x = cm
2.ばねと振り子むずかしい
k = 380 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 0.6 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。 おもりの最大の速さ vmax を求めよ。
m = 0.6 kgk = 380 N/mg = 9.81 m/s²
vmax = m/s
3.波・音・光学ふつう
観測者が、静止している 800 Hz の音源に向かって 10 m/s で動いています。 音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。
f = 800 Hzv = 343 m/svo = 10 m/s
f′ = Hz
4.波・音・光学むずかしい
光ファイバーのコアは n₁ = 1.5、クラッドは n₂ = 1.42 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θa を求めてください。
n1 = 1.5n2 = 1.42n0 = 1.00
θa = °
3溶液
1.ばねと振り子
答え: x = −13.28 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角周波数
ω = √(110/3.3) = 5.774 rad/s
ω·t = 5.774·0.6 = 3.464 rad
変位
x = A·cos(ω·t) = 14·cos(3.464) = −13.28 cm
答え
x = −13.28 cm
2.ばねと振り子
答え: vmax = 0.3898 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
つり合いの位置と振幅
x₀ = m·g/k = 0.6·9.81/380 = 0.01549 m = A
最大の速さ
速さはつり合いの位置で最大になります。
ω = √(380/0.6) = 25.17 rad/s
vmax = A·ω = 0.01549·25.17 = 0.3898 m/s
答え
vmax = 0.3898 m/s
3.波・音・光学
答え: f′ = 823.3 Hz
定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。
ドップラーの公式
f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 800·(343 + 10)/(343 − 0)
f′ = 823.3 Hz
答え
f′ = 823.3 Hz
4.波・音・光学
答え: θa = 28.9 °
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
クラッドでの臨界角
sin θc = 1.42/1.5 = 0.9467 → θc = 71.2°
開口数
NA = √(1.5² − 1.42²) = 0.4833
受光角
θa = arcsin(0.4833) = 28.9°
答え
θa = 28.9°
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