ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
k = 380 N/m のばねにつけた質量 1.2 kg のおもりを正の向きに 4 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.95 s での速度 v を符号をつけて求めよ。
m = 1.2 kgk = 380 N/mA = 4 cmt = 0.95 s
v = m/s
2.ばねと振り子むずかしい
k = 470 N/m のばねにつけた質量 3.2 kg の物体を、つり合いの位置から 19 cm 引いて静かに放す。 最大の加速度 amax を求めよ。
m = 3.2 kgk = 470 N/mA = 19 cm
amax = m/s²
3.波・音・光学ふつう
光が アクリル（n = 1.49）の中を、空気（n = 1.00）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θc を求めてください。
n1 = 1.49n2 = 1.00
θc = °
4.波・音・光学むずかしい
波長 600 nm の光が、幅 0.2 mm の単スリットを通ります。直進方向から測った 3 番目の暗線の角度 θ3 を求めてください。
λ = 600 nma = 0.2 mmm = 3
θ3 = °
3溶液
1.ばねと振り子
答え: v = 0.6628 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角周波数
ω = √(380/1.2) = 17.8 rad/s
ω·t = 17.8·0.95 = 16.91 rad
速度
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.04·17.8·sin(16.91) = 0.6628 m/s
答え
v = 0.6628 m/s
2.ばねと振り子
答え: amax = 27.91 m/s²
単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。
角周波数
ω = √(470/3.2) = 12.12 rad/s
最大の加速度
amax = A·ω² = 0.19·12.12² = 27.91 m/s²
答え
amax = 27.91 m/s²
3.波・音・光学
答え: θc = 42.16 °
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
90° の屈折
sin θc = n₂/n₁ = 1.00/1.49 = 0.6711
臨界角
θc = arcsin(0.6711) = 42.16°
答え
θc = 42.16°
4.波・音・光学
答え: θ3 = 0.5157 °
干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。
暗線の条件
sin θ = mλ/a = 0.009
θ = 0.5157°
答え
θ3 = 0.5157°
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