ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
k = 160 N/m のばねにつけた質量 1.2 kg のおもりを正の向きに 5 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.45 s でのつり合いの位置からの変位 x を符号をつけて求めよ。
m = 1.2 kgk = 160 N/mA = 5 cmt = 0.45 s
x = cm
2.ばねと振り子むずかしい
k = 80 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 4 cm で振動する。 つり合いの位置から 3 cm のところでの運動エネルギー K を求めよ。
k = 80 N/mA = 4 cmx = 3 cm
K = J
3.波・音・光学ふつう
両端が固定された弦 の長さは 0.8 m で、その上を波が 150 m/s で伝わります。その 第 4 倍音 の振動数 f4 を求めてください。
v = 150 m/sn = 4L = 0.8 m
f4 = Hz
4.波・音・光学むずかしい
波長 600 nm の光が、幅 0.2 mm の単スリットを通ります。直進方向から測った 2 番目の暗線の角度 θ2 を求めてください。
λ = 600 nma = 0.2 mmm = 2
θ2 = °
3溶液
1.ばねと振り子
答え: x = 2.326 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角周波数
ω = √(160/1.2) = 11.55 rad/s
ω·t = 11.55·0.45 = 5.196 rad
変位
x = A·cos(ω·t) = 5·cos(5.196) = 2.326 cm
答え
x = 2.326 cm
2.ばねと振り子
答え: K = 0.028 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
全エネルギー
E = ½·k·A² = ½·80·0.04² = 0.064 J
x でのばねのエネルギー
U = ½·k·x² = ½·80·0.03² = 0.036 J
運動エネルギー
K = 0.064 − 0.036 = 0.028 J
答え
K = 0.028 J
3.波・音・光学
答え: f4 = 375 Hz
定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。
このモードの波長
λ = 2L/n = 2·0.8/4 = 0.4 m
振動数
f = v/λ = 150/0.4 = 375 Hz
答え
f4 = 375 Hz
4.波・音・光学
答え: θ2 = 0.3438 °
干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。
暗線の条件
sin θ = mλ/a = 0.006
θ = 0.3438°
答え
θ2 = 0.3438°
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